人教高中数学专题03 等式与不等式的性质(解析版).docx

专题03 等式与不等式的性质
【考纲要求】
1、会用不等式表示不等关系；掌握等式性质和不等式性质.
2、会利用不等式性质比较大小
【思维导图】
【考点总结】
【考点总结】
一、等式的基本性质
性质1　如果a＝b，那么b＝a；
性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4　如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5　如果a＝b，c≠0，那么＝.
二、不等式的概念
我们用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式．
三、比较两个实数a、b大小的依据
文字语言
符号表示
如果a＞b，那么a－b是正数；
如果a＜b，那么a－b是负数；
如果a＝b，那么a－b等于0，
反之亦然　　　　　　　　　
a>b⇔a－b>0
a<b⇔a－b<0
a＝b⇔a－b＝0
[化解疑难]
1．上面的“⇔”表示“等价于”，即可以互相推出．
2．“⇔”右边的式子反映了实数的运算性质，左边的式子反映的是实数的大小顺序，二者结合起来即是实数的运算性质与大小顺序之间的关系.
四、不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔b<a；
(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c；
(3)可加性：a>b⇒a＋c>b＋c.
推论(同向可加性)：⇒a＋c>b＋d；
(4)可乘性：⇒ac>bc；⇒ac<bc；
推论(同向同正可乘性)：⇒ac>bd；
(5)正数乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N*，n≥1)；
(6)正数开方性：a>b>0⇒>(n∈N*，n≥2)．
[化解疑难]
1．在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．
2．要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性．
【题型汇编】
题型一：利用不等式的性质比较数（式）大小
题型二：作差法比较数（式）大小
题型三：利用不等式的性质证明不等式
【题型讲解】
题型一：利用不等式的性质比较数（式）大小
一、单选题
1．（2022·浙江·三模）已知，且，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由得，结合即可求解.
【详解】
由题意知：，又，则，显然异号，
又，所以.
故选：B.
2．（2022·北京·北大附中三模）已知，下列不等式中正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论.
【详解】
解：对于选项A，因为，而的正负不确定，故A错误；
对于选项B，因为，所以，故B错误；
对于选项C，依题意，所以，所以，故C正确；
对于选项D，因为与正负不确定，故大小不确定，故D错误；
故选：C.
3．（2022·江西萍乡·三模（理））设，，，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
令，，求导研究函数的单调性，从而得到，利用不等式的性质比较得出，从而求得答案.
【详解】
令，
，
，可以判断在上单调递增，
，
所以，
，
所以，
又因为，，
所以，即，所以，
故选：D.
4．（2022·北京·二模）“”是“”的（       ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据不等式的性质，求解出，进而根据逻辑关系进行判断即可.
【详解】
对于等价为：
或
即：或
解得：或，
“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
5．（2022·江西鹰潭·二模（理））已知，且则下列不等式中恒成立的个数是（       ）
①   ②     ③   ④
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
①，分析得到所以正确；②，构造函数举反例判断得解；③，构造函数利用函数单调性判断得解；④，转化为判断，再构造函数利用导数判断函数的单调性即得解.
【详解】
解：①，若，所以矛盾，所以所以正确；
②，，设，
所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，因为，所以不恒成立，如，所以该命题错误；
③，，设在单调递增，因为，所以恒成立，所以该命题正确；
④，，
设，
所以
，
所以函数在单调递增，在单调递减.
取
设，所以在单调递增，
，，
所以存在，
此时，
所以该命题错误.
故选：B
6．（2022·山东日照·二模）若a，b，c为实数，且，，则下