人教高中数学专题03 累加法累乘法求数列通项(解析版).docx

专题03 累加法累乘法求数列通项
【必备知识点】
◆累加法
若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法.
具体步骤：
将上述个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：
=
整理得：=
【经典例题1】已知数列满足，对任意的都有，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由得：，
，，，…，，
各式作和得：，
，.
故选：C.
【经典例题2】已知数列满足，，则（       ）
A．30 B．31 C．22 D．23
【答案】B
【解析】
因为数列满足，，
所以，，，，
所以，
所以，
故选：B
【经典例题3】已知数列满足，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
∵，，
∴.
故选：C.
【练****1】已知数列{}满足，，则数列{}第2022项为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
解：由.得，
又，可得
所以，，，……，
，将上式相加得
，
故选：A.
【练****2】已知数列满足则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
因为所以
累加得：，
所以.
故选：D
【练****3】已知数列满足则求___________
【答案】
【解析】
∵
∴
∴,
,
,
…
，
将以上99个式子都加起来可得，
.
故答案为：.
【练****4】数列中，，则__________.
【答案】##
【解析】
因为，所以，
则当时， ，将个式子相加可得
，因为，则，
当时，符合题意，所以.
所以
故答案为：.
【练****5】已知数列满足，且，若，n为正整数，则数列的前n项和__________．
【答案】
【解析】
由题意，
所以，
．
故答案为：．
【练****6】若数列是等比数列，且，，，则________．
【答案】
【解析】
解：数列是等比数列，且，，，
数列的公比，
，
所以
．
故答案为：．
◆累乘法
若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。
具体步骤：
将上述个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：
整理得：
【经典例题1】已知，，则数列的通项公式是（       ）
A． B． C． D．n
【答案】D
【解析】
由，得，
即，
则，，，…，，
由累乘法可得，所以，
又，符合上式，所以.
故选：D．
【经典例题2】若数列满足，则（       ）
A．2 B．6 C．12 D．20
【答案】D
【解析】
由得，
，
.
故选：D
【经典例题3】设是首项为的正项数列，且（），则它的通项公式是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，
，
,
又，，即，
，
即，
又，，
，
故选：B．
【经典例题4】已知数列满足，且，则(     )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
数列满足，且，
∴，，
∴，，，，
累乘可得：，
可得：．
故选：D﹒
【练****1】若数列满足，，则满足不等式的最大正整数n为（       ）
A．28 B．29 C．30 D．31
【答案】A
【解析】
解：由，得，
所以
因为，所以，解得，所以满足条件的最大正整数n为28.
故选：A
【练****2】已知数列满足，(，)，则数列的通项（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
解：数列满足，，
整理得，，，，
所有的项相乘得：，
整理得：，
故选：．
【练****3】数列满足：，，则的通项公式为_____________.
【答案】
【解析】
由得，，
则，
即，又，所以.
故答案为：.
【练****4】已知数列，满足，，，的前n项和为，前n项积为．则______．
【答案】
【解析】
因为，，故，依次有
根据可得，
故
.
由可得，
从而，
故，
故答案为：.
【练****5】在数列中，，，则数列的通项公式___________.
【答案】
【解析】
因为，，
所以，所以当时，，
所以
（）
当，满足上式，
所以