人教高中数学专题3-1 利用导数解决切线（公切线）问题 (解析版）.docx

专题3-1 利用导数解决切线（公切线）问题
目录
1
题型一：“在”型求切线 1
题型二：“过”型求切线 5
题型三：已知切线条数求参数 9
题型四：判断切线条数 13
题型五：公切线问题 16
题型六：距离最小值 19
题型七：等价转化为距离 23
27
题型一：“在”型求切线
【典型例题】
例题1．（2022·全国·高三专题练****已知函数.曲线在点处的切线方程为（  ）
A． B．
C． D．
【答案】C
解：因为，所以，
所以，，
所以切点为，切线的斜率，
所以切线方程为，即；
故选：C
例题2．（2022·四川·雅安中学高二期中（文））已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】∵函数在上满足，用替换得：
，
∴
∴
令，则，∴，即
∴，∴，
∴曲线在点处的切线方程是：，即.
故选：C.
【提分秘籍】
已知在点处的切线方程步骤：①求；
②
【变式演练】
1．（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测（文））已知满足，且当时，，则曲线在点处的切线方程为(    )
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】已知满足，∴为奇函数，
当时，，因此，
则x＞0时，，
曲线在点处的切线斜率，
又，
∴曲线在点，即(1，0)处的切线方程为，
整理得﹒
故选：C．
2．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数的图象经过坐标原点，则曲线在点处的切线方程是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为函数的图象经过坐标原点，
所以，所以，
所以
所以．
因为，所以．
所以所求切线方程为，
即．
故选：A.
3．（2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练****设函数，则曲线在点（3，－6）处的切线方程为（    ）
A．y＝9x＋21 B．y＝－9x＋19 C．y＝9x＋19 D．y＝－9x＋21
【答案】D
【详解】解：因为函数，所以，所以，
所以切线的斜率为.
所以曲线在点（3，－6）处的切线方程为y＋6＝－9（x－3），
即y＝－9x＋21.
故选：D.
4．（2022·全国·高三专题练****文））函数在处的切线方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】依题意，，则，而，于是有，即
，
所以所求切线方程为：.
故选：A
题型二：“过”型求切线
【典型例题】
例题1．（2022·全国·高二课时练****过点作曲线的切线，则切线方程为
A．或 B．或
C．或 D．
【答案】A
【详解】设切点为（m，m3-3m），的导数为，
可得切线斜率k＝3m2-3，
由点斜式方程可得切线方程为y﹣m3+3m＝(3m2-3)（x﹣m），
代入点可得﹣6﹣m3+3m＝(3m2-3)（2﹣m），
解得m＝0或m＝3，
当m=0时，切线方程为，
当m=3时，切线方程为，
故选A．
例题2．（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高二期末（文））已知曲线，过点的直线与曲线相切于点，则点的横坐标为______________.
【答案】0或或
【详解】设的坐标为，，
过点的切线方程为，
代入点的坐标有，
整理为，
解得或或，
故答案为：0或或.
【提分秘籍】
函数图象过点处的切线方程：①设切线坐标，②求出切线方程为，③代入求得，从而得切线方程．
【变式演练】
1．（2022·山西太原·高三阶段练****若过点的直线与函数的图象相切，则所有可能的切点横坐标之和为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为函数，所以，
设切点为，则切线方程为：，
将点代入得，
即，解得或，
所以切点横坐标之和为
故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练****过点作曲线的切线，则切线方程为
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由，得，
设切点为
则 ，
∴切线方程为 ，
∵切线过点，
∴−ex0＝ex0(e−x0)，
解得： ．
∴切线方程为 ，整理得：.
故选C.．
3．（2022·河南省淮阳中学高三阶段练****文））已知，过作曲线的切线，切点在第一象限，则切线的斜率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由，得，
设切点坐标为，则切线方程为，
把点代入并整理，得，
解得或（舍去），
故切线斜率为．
故选：C．
4．（2022·陕西安康·高三期末（理））曲线过