人教高中数学专题7-1 基本不等式和对钩函数(解析版）.docx

专题7-1基本不等式和对钩函数
目录
专题7-1基本不等式和对钩函数 1
1
题型一：直接法 1
题型二：凑配法 4
题型三：分离法和换元法 7
题型四：常数代换“1”的代换 11
题型五：消元法 15
题型六：对钩函数 17
22
一、单选题 22
二、多选题 26
三、填空题 28
题型一：直接法
【典例分析】
例题1．（2022·福建·上杭县第二中学高三阶段练****当时，函数（    ）
A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值4 D．有最小值4
【答案】A
【分析】利用基本不等式可直接得到函数的最值.
详解】，，
，当且仅当时等号成立，
故选：A
例题2．（2022·黑龙江·哈尔滨德强高级中学有限公司高一阶段练****已知，则有（    ）
A．最大值0 B．最小值0 C．最大值－4 D．最小值－4
【答案】C
【详解】因为，
所以，，当且仅当，即时等号成立，
所以，，即有最大值，
故选：C
【提分秘籍】
基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）
①如果，，，当且仅当时，等号成立．
②其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数．
【变式演练】
1．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高一期末）函数的最小值是（    ）
A．7 B．9 C．12 D．
【答案】C
【详解】因为，所以，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以，
故选：C.
2．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校高二学业考试）若，则的最小值是（    ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】B
【详解】解：若，则，当且仅当，即时等号成立
所以的最小值是1.
故选：B.
3．（2022·上海虹口·一模）对于正实数，代数式的最小值为______．
【答案】4
【详解】因为，
所以，
当且仅当即时取等，
所以代数式的最小值为4，
故答案为：4
4．（2022·河北行唐启明中学高一阶段练****1）已知，求的最大值
【答案】（1）-2；
【详解】（1）因为，所以，
当且仅当，，即时等号成立.
所以，
所以，函数的最大值为.
题型二：凑配法
【典例分析】
例题1．（2022·四川省南充高级中学高一期中）（1） 已知 ， 求函数的最大值．
（2） 已知 ， 求函数的最大值．
【答案】（1）；（2）1；
【详解】（1）
当且仅当时，等号成立，
因为
所以函数的最大值为．
（2）因为，
所以
，
当且仅当时取等号，
故函数的最大值为 1．
例题2．（2022·西藏·拉萨市第二高级中学高一期中）若，则的最小值为______，此时______.
【答案】         
【详解】因为，，当且仅当时取到等号.
故的最小值为，此时.
故答案为：；
【提分秘籍】
在例题1中使用基本不等式一定要注意，积定，或者和定，否则需要凑配，比如：
直接使用基本不等式，则发现，和不定，无法直接使用基本不等式，需要凑配位和定：；
再如：直接使用基本不等式，则，发现积不定，则需要凑配为积定：
【变式演练】
1．（2022·辽宁·大连八中高一阶段练****已知，则的最小值为，取得最小值时，则______．
【答案】
【详解】因为，所以，
当且仅当时取等号．故，，所以，．
故答案为：.
（2022·云南·屏边苗族自治县第一中学高一阶段练****若，求：的最小值.
【答案】.
【详解】由题意可得，
，则
得，当且仅当，即或时，等号成立，此时的最小值为
3．（2022·陕西·兴平市南郊高级中学高一阶段练****已知，求的最大值.
【答案】）
【详解】解：，
当且仅当，即时，取等号，
故的最大值是.
4．（2022·江苏·扬州大学附属中学东部分校高一期中）求下列函数的最值
(1)已知，求的最小值；
【答案】(1)
【详解】（1）由题得，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取得等号，
所以的最小值为.
题型三：分离法和换元法
【典例分析】
例题1．（2022·安徽·合肥八中教育集团铭传高级中学高一期末）已知，则的最小值为（    ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【详解】解法一：因为，所以，
，当且仅的，即时等号成立.
故选：A.
解法二：换元法：令，代入换元后可化为：，分离后：，当且仅时，等式成立.
例题2．（2022·重庆市育才中学高一期中）若，则的最小值为（    ）
A．2 B．4 C．5 D．