人教高中数学专题11 函数的奇偶性、对称性和周期性综合(解析版).docx

专题11 函数的奇偶性、对称性和周期性综合
专项突破一 奇偶性与周期性
1．已知函数为R上的偶函数，若对于时，都有，且当时，，则等于（       ）
A．1 B．-1 C． D．
【解析】∵为上的偶函数，∴，
又当时，，∴，
当时，，∴.故选：A.
2．已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（       ）
A．-2 B． C．2 D．6
【解析】因为为上的奇函数，所以，即，解得，
又因为，所以，
所以，
所以是以12为周期的周期函数，所以.故选：B.
3．已知定义域为R的奇函数满足，且当时，则（       ）
A．2 B．1 C． D．
【解析】奇函数满足，
所以，以4为周期的奇函数.
.故选：A
4．已知是定义在R上的奇函数，，且，则（       ）
A．2 B． C．4 D．
【解析】，∴，所以函数的周期为，
则，∴，
，
，，故选：B.
5．若函数满足，且当时，，则函数与函数的图像的交点个数为（       ）.
A．18个 B．16个 C．14个 D．10个
【解析】因，于是得函数是以2为周期的周期函数，又当时，，
则有函数与函数都是偶函数，
在同一坐标系内作出函数与函数的图像，如图，
观察图象得，函数与函数的图像有9个交点，由偶函数的性质知，两函数图象在时有9个交点，所以函数与函数的图像的交点个数为18.故选：A
6．定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在区间上所有实根之和是（          ）
A． B． C． D．
【解析】由知函数的图象关于直线对称，
由是上的奇函数知，
在中，以代得：即，
所以，即，
所以是以4为周期的周期函数．考虑的一个周期，例如，，
由在，上是减函数知在，上是增函数，
在，上是减函数，在，上是增函数．
对于奇函数有，（2），
故当时，，当时，（2），
当时，，当时，（2），
方程在，上有实数根，则这实数根是唯一的，因为在上是单调函数，
由于为奇函数，故在上有唯一实根，在上无实数根.
则由于，故方程在上有唯一实数．
在上，则方程在上没有实数根．
从而方程在一个周期内有且仅有两个实数根．
当，，方程的两实数根之和为，
当，，方程的所有四个实数根之和为．
故选：C
7．已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的，都有，当时，.若直线与函数的图象在区间上恰有3个不同的公共点，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【解析】因为函数是定义在上的偶函数，且对任意的，都有，
所以，且的图象关于直线对称，
所以，所以函数的周期.因为当时，，且是偶函数，
所以可画出函数在一个周期上的图象如图所示.
显然时，与在区间上恰有两个不同的公共点.
当直线与抛物线相切时，也恰有两个不同的公共点.
由题意知，即.故，即.
综上可知实数a的取值范围是，故选：D.
8．已知定义在R上的函数的图像关于y轴对称，且，将函数的图像向右平移一个单位长度后关于原点对称，则______，其中；______
【解析】依题意，知，为奇函数，则，
又，故，，
，则最小正周期．因为，
所以，，故，
．故答案为:；
9．奇函数的定义域为R，若为偶函数，且，则______．
【解析】由函数为偶函数可得，，
又，故，所以，即
所以，故该函数是周期为8的周期函数．
又函数为奇函数，故，．
所以．
10．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则__________.
【解析】:是上的奇函数， ，
又， ，
，所以是周期函数，且周期为4，
.
11．已知是偶函数，周期是8，当时，，则____．
【解析】因为当时，，所以，
又因为是偶函数，周期是8，所以，
12．已知为R上的奇函数，且，当时，，则的值为______．
【解析】由题设，，故，即的周期为2，
所以，且，
所以.
13．若偶函数对任意都有，且当时，，则______．
【解析】因为，所以，
所以周期为6，且为偶函数，当时，，
，
，所以，根据函数为偶函数，
所以，即.
14．已知定义在R上的函数满足：
①对任意实数，，均有；
②；
③对任意，．
(1)求的值，并判断的奇偶性；
(2)对任意的x∈R，证明：；
(3)直接写出的所有零点(不需要证明)．
【解析】(1)∵对任意实数，，均有，
∴令，则，可得，
∵对任意,，，∴f(0)＞0，∴；
令，则；
∴；∵f(x)定义域为R关于原点对称，且令时，，
∴是R上的偶函数；
(2)令，则，
则，
∴，即；
(3