人教高中数学专题12 解三角形(解析版).docx

专题12 解三角形
【考纲要求】
1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
一、正弦定理和余弦定理
【思维导图】
【考点总结】
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝＝2R
(R为△ABC外接圆半径)
a2＝b2＋c2－2bccos_A；
b2＝c2＋a2－2cacos_B；
c2＝a2＋b2－2abcos_C
变形形式
a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
sin A＝，sin B＝，sin C＝；
a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；
＝
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
2.三角形解的判断
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin A<a<b
a≥b
a>b
解的个数
一解
两解
一解
一解
3.三角形中常用的面积公式
(1)S＝ah(h表示边a上的高)．
(2)S＝bcsin A＝acsin_B＝absin C.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
【常用结论】
1．三角形内角和定理
在△ABC中，A＋B＋C＝π；
变形：＝－.
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；
(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin ＝cos ；
(4)cos ＝sin .
3．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；
b＝acos C＋ccos A；
c＝bcos A＋acosB．
二、解三角形的综合应用
【思维导图】
【考点总结】
1．仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．
2．方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
3．方向角
相对于某一正方向的水平角．
(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．
(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．
(3)南偏西等其他方向角类似．
4．坡角与坡度
(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．
(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．
常用结论
测量中的几种常见问题
求AB
图形
需要测量的元素
解法
求竖直高度
底部可达
∠ACB＝α
BC＝a
解直角三角形AB＝atan α
底部不可达
∠ACB＝α
∠ADB＝β
CD＝a
解两个直角三角形AB＝
求水平距离
山两侧
∠ACB＝α
AC＝b
BC＝a
用余弦定理AB＝
河两岸
∠ACB＝α
∠ABC＝β
CB＝a
用正弦定理
AB＝
河对岸
∠ADC＝α
∠BDC＝β
∠BCD＝δ
∠ACD＝γ
CD＝a
在△ADC中，
AC＝
在△BDC中，
BC＝
在△ABC中，应用余弦定理求AB
【题型汇编】
题型一：正弦定理
题型二：余弦定理
题型三：三角形的面积公式
题型四：解三角形的实际应用
【题型讲解】
题型一：正弦定理
一、单选题
1．（2022·江西南昌·二模（理））在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（       ）
A．8 B．6 C．5 D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出，由正弦定理，化简计算可得.
【详解】
解：中，因为，所以，由正弦定理得，化简得6.
故选：B.
2．（2022·吉林·延边州教育学院一模（文））已知，内角的对边分别是，则等于（       ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】A
【解析】
【分析】
直接根据正弦定理求解即可．
【详解】
解：∵，，，
∴，，
由正弦定理得： ，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查利用正弦定理解三角形，要注意大边对大角等隐含条件，注意多解情况的处理，属于基础题．
3．（2022·江西·二模（文））设在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若满足的不唯一，则m的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正弦定理计算可得；
【详解】
解：由正弦定理，即，所以，
因为不唯一，即有两解，所以且，即，
所以，所以，即；