人教高中数学专题13 数列的通项与数列的求和（讲）【解析版】.docx

第一篇 热点、难点突破篇
专题13 数列的通项与数列的求和（讲）
真题体验 感悟高考
1．（2022·浙江·统考高考真题）已知数列满足，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先通过递推关系式确定除去，其他项都在范围内，再利用递推公式变形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放缩可得出．
【详解】∵，易得，依次类推可得
由题意，，即，
∴，
即，，，…，，
累加可得，即，
∴，即，,
又，
∴，，，…，，
累加可得，
∴，
即，∴，即；
综上：．
故选：B．
2．（2022·全国·统考高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据，再利用数列与的关系判断中各项的大小，即可求解.
【详解】[方法一]:常规解法
因为，
所以，，得到，
同理，可得，
又因为，
故，；
以此类推，可得，，故A错误；
，故B错误；
，得，故C错误；
，得，故D正确.
[方法二]：特值法
不妨设则
故D正确.
3．（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.
【详解】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
（2）
∴
总结规律 预测考向
（一）规律与预测
1. 等差(等比)数列的定义、通项公式及求和公式是高考的基础考点与高频考点.以小题居多，属于容易题.
2. 数列求和方法中的公式法、错位相减法、裂项相消法及分组求和法是高考的高频考点，以小题或解答题形式出现，难易程度有些起伏，从趋势看，与不等式等相结合，其难度有所增大，总体属于中档题.涉及数列的通项、递推与不等式相结合的客观题有所增加.
（二）本专题考向展示

考点突破 典例分析
考向一 分组转化法求和
【核心知识】
1．等差数列的求和公式：；
2．等比数列的求和公式：
【典例分析】
典例1.（2023秋·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第三高级中学校考阶段练****已知各项均不相等的等差数列的前4项和为10，且是等比数列的前3项．
(1)求；
(2)设，求的前n项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用等差数列的通项公式与等比中项公式求得基本量，从而利用公式法依次求得；
（2）结合（1）中结论，利用分组求和法与裂项相消法即可得解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，前项和为，则，
因为，则，即，
又因为成等比数列，所以，即，整理得，
又因为，所以，
联立，解得，
所以，
又，，是等比数列，
所以，则.
（2）由（1）得，
所以
，
所以数列的前n项和.
典例2.（2022秋·北京·高三统考阶段练****已知数列满足，.
(1)若，，
①求，，；
②求数列的通项公式；
(2)若，，求数列的通项公式.
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）由已知条件取n的值代入计算可得，然后利用递推关系，验证，即为数列的通项公式；
（2）由（1）可证数列是为首项，为公比的等比数列，进而求得，利用累加法可求数列的通项公式.
【详解】（1）①已知，
若，，则，，
而，
，，，即；
②由，得，
即，
所以，
因为，
所以，即；
（2）由（1）知，
若，，则，
∴，
因此数列是为首项，为公比的等比数列，
所以，即，
当时，
，
又当时，也满足上式，
所以.
典例3. （2022秋·辽宁丹东·高三校联考阶段练****已知数列的前n项和为，且满足，，
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列，求数列的前2n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用进行类比作差法即可求解；（2）分组求和，等比数列求和以及等差数列求和方法即可得解.
【详解】（1）∵，∴，
当时，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
又当时，，，∴，又，适合上式，
则数列的通项公式为；
（2）由题意可