人教高中数学专题14 数列求和综合必刷100题(解析版).docx

专题14 数列求和综合必刷100题
任务一:善良模式(基础)1-30题
一、单选题
1．已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由，利用累加法得出.
【详解】
由题意可得，
所以，，…，，
上式累加可得
，
又，所以.
故选：B.
2．已知数列的前项和为，且，，则数列的前2020项的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
首先根据已知条件求得，然后求得，利用裂项求和法求得正确答案.
【详解】
数列的前项和为，且，，则.
所以，
两式相减得：，且，，
当为奇数时，，
当为偶数时，，
所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列.
所以，
故，
所以，
则.
故选：B
3．数列1，1＋2，1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前99项和为（ ）
A．2100－101 B．299－101 C．2100－99 D．299－99
【答案】A
【分析】
由数列可知an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，结合分组求和法即可求解．
【详解】
由数列可知an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，所以，前99项的和为
S99＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(299－1)＝2＋22＋…＋299－99＝－99＝2100－101．
故选：A
4．已知数列的前项和满足，记数列的前项和为，.则使得的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由，求得，得到，结合裂项法求和，即可求解.
【详解】
数列的前项和满足，
当时，；
当时，，
当时，适合上式，所以，
则，
所以.
故选：B.
5．已知数列{an}满足：an+1=an-an-1（n≥2，n∈N*），a1=1，a2=2，Sn为数列{an}的前n项和，则S2021=（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【分析】
根据递推关系式得出数列是周期为6的周期数列，利用周期性即可求解.
【详解】
∵an+1=an-an-1，a1=1，a2=2，∴a3=1，a4=-1，a5=-2，a6=-1，a7=1，a8=2，…，
故数列{an}是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0，
故S2021=336×0+a2017+a2018+…+a2021=a1+a2+a3+a4+a5=1+2+1+（-1）+（-2）=1.
故选：C.
6．正项数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
对化简可得，从而可得数列是等差数列，首项为1，公差为3，求出通项，则可得，然后利用裂项求和法计算
【详解】
，
，，
，
数列是等差数列，首项为1，公差为3，
.
，
.
故选：B.
7．化简的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
用错位相减法求和．
【详解】
，（1）
，（2）
（2）－（1）得：
．
故选：D．
8．已知数列中，，求数列的前项和为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意化简得到，得到数列构成首项为，公比为的等比数列，求得，结合等比数列和等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】
由题意，数列中，，
可得，即，
且，所以数列构成首项为，公比为的等比数列，
所以，即，
则数列的前项和
.
故选：C.
9．等比数列中，，，数列，的前项和为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先求出，从而可得，然后利用裂项相消求和法可求出
【详解】
由题意得，所以，
所以.
故选：B
10．已知数列的前项和满足，记数列的前项和为，．则使得成立的的最大值为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
【答案】C
【分析】
根据求通项公式，注意讨论、并判断是否可合并，再应用裂项法求，最后根据不等式求的最大值即可.
【详解】
当时，；当时，；而也符合，
∴，.又，
∴，要使，
即，得且，则的最大值为19.
故选：C.
第II卷（非选择题）
二、填空题
11．数列是首项和公差都为1的等差数列，其前n项和为，若是数列的前n项和，则 ______
【答案】/.
【分析】
首先写出等差数列前n项和，则有，再应用裂项相消法求.
【详解】
由题意：，故，于是，
∴.
故答案为：.
12．已知数列的通项公式，设其前项和为，则使成立的最小的自然为__________.
【答案】14