人教高中数学专题16 数列放缩证明不等式必刷100题(解析版).docx

专题16 数列放缩证明不等式必刷100题
任务一:邪恶模式(困难)1-100题
提示:几种常见的数列放缩方法：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）
；
（10）
；
（11）；
（12）.
一、单选题
1．2018年9月24日，英国数学家M.F阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和.记无穷数列的各项的和，那么下列结论正确的是
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由时，，由裂项相消求和以及不等式的性质可得,排除，再由前3项的和排除，，从而可得到结论.
【详解】
由时，，
可得，
时，，可得,排除，
由，可排除,故选C.
2．已知数列满足，，且，，则下列说法中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
分析得出，可判断出CD选项的正误；分析得出，利用累加法可判断出A选项的正误；当时，分析得出，利用放缩法可判断D选项的正误.
【详解】
由已知，数列满足，，且，，
即，
故，
由，，有，，故与同号，
因为，则，，，
以此类推可知，对任意的，，
所以，，则，所以，，D错；
，C对；
因为，则，，，，
累加得，所以，，可得，A对；
当时，，
故，B对.
故选：D.
3．已知数列满足，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用数列的单调性可判断A选项的正误；利用放缩法得出，，利用放缩法可判断BCD选项的正误.
【详解】
由，可得出，，，
以此类推可知，对任意的，，所以，，即，
所以，数列为单调递增数列，故，A错；
在等式的两边同时除以可得
，其中且，
所以，，，，，
累加得，所以，，则，故.
故D错误；
对于，
所以，，，，，
累加得，可得，则，
所以，，故， .
故选：B.
4．已知数列满足，，若，对任意的，恒成立，则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．3
【答案】D
【分析】
先根据已知的递推关系式得到，然后结合基本不等式得到，进而得到，最后利用此不等式对放缩，并利用等比数列的前项和公式求解即可．
【详解】
由，得，
又，所以．
由，
可得，当且仅当时等号成立，
因为，，
所以，所以，
所以，
所以，
所以．
又对任意的，恒成立，
所以，
故的最小值为3．
故选：D
5．已知数列的前项和为，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，则 B．当时，则
C．当时，则 D．当时，则
【答案】B
【分析】
利用不等式放缩和裂项相消法对各选项进行分析和计算，即可求出结果.
【详解】
对于选项A，当时，，
所以，故选项A错误；
对于选项B，当时，，
又，所以
所以
，故选项B正确；
对于选项C，当时，，
所以
，故选项C错误；
对于选项D，当时，，
所以
，故选项D错误；
故选：B.
第II卷（非选择题）
二、解答题
6．已知数列满足，.
（1）证明：数列为等差数列；
（2）设，证明：.
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【分析】
（1）根据1，结合等差数列的定义可证结论；
（2）由（1）知，，根据放大后裂项求和，可证不等式成立.
【详解】
（1）因为，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.
（2）由（1）知，，
所以，当时，，
所以.
7．已知数列的前n项和为，对任意正整数n，点都在函数的图象上，且在点处的切线的斜率为.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）把点的坐标代入函数的解析式中，结合进行求解即可；
（2）根据导数的几何意义，运用放缩法，结合等比数列前项和公式进行证明即可.
【详解】
（1）解：依题意可知，当时，
，
当时，也符合上式，
∴；
（2）证明：∵，∴，，∴，
∴，
∴原不等式成立.
8．已知等差数列的前n项和为，且，又．
求数列的通项公式；
若数列满足，求证：数列的前n项和．
【答案】（1）（2）证明见解析
【分析】
直接利用等差数列前n项和公式求出数列的公差，进一步求出数列的通项公式．
利用等比数列的求和公式和放缩法的应用求出数列的和．
【详解】
解：设的公差为d,因为，又．
所以，解得．
故．
证明：由于，所以，
所以．
9．已知等差数列满足，，的前n项和为