人教高中数学专题18 函数中的新定义问题(解析版).docx

专题18 函数中的新定义问题
一、单选题
1．，表示不超过的最大整数，十八世纪，函数被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更****惯称之为“取整函数”，则（       ）
A．0 B．1 C．7 D．8
【解析】由题意可知4－(－4)＝8.故选：D.
2．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数与函数即为“同族函数”．请你找出下面哪个函数解析式也能够被用来构造“同族函数”的是（       ）
A． B． C． D．
【解析】对于选项AD，函数都为单调递增的，故不满足，因此AD都错；
对于选项C，在区间和上都是单调递减的，且在两个区间上的取值一正一负，故不满足，因此C错；
对于选项B，函数，和函数，即为“同族函数”，故满足，因此B正确.
故选：B.
3．已知函数的定义域为实数集R，满足（M是R的非空子集），在R上有两个非空真子集A，B，且，则的值域为（       ）
A． B． C． D．
【解析】当时，，，，
同理得：当时，；当时，；
故，即值域为{1}．故选：B
4．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（
L. E. J. Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点函数”，下列为“不动点函数”的是（       ）
A． B．
C． D．
【解析】对于A，由，得，即，方程无解，所以A不符合题意，
对于B，由，得，即，方程无解，所以B不符合题意，
对于C，由，得当时，，即，解得或，所以此函数为“不动点函数”，所以C正确，
对于D，由，得，即，方程无解，所以D不符合题意，，
故选：C
5．四参数方程的拟合函数表达式为，常用于竞争系统和免疫检测，它的图象是一个递增（或递减）的类似指数或对数曲线，或双曲线（如），还可以是一条S形曲线，当，，，时，该拟合函数图象是（       ）
A．类似递增的双曲线 B．类似递增的对数曲线
C．类似递减的指数曲线 D．是一条S形曲线
【解析】依题意可得拟合函数为，，
即，，
由向左平移个单位，再向上平移个单位得到，，
因为在上单调递增，
所以拟合函数图象是类似递增的双曲线；故选：A
6．在函数区间D上的导函数为，在区间D上的导函数为.若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”.已知实数m为常数，，若对满足的任何一个实数m，函数在区间上都为“凸函数”，则的最大值为（     ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【解析】由题设，，则，
∴对任意，在上有恒成立，
令在上恒成立，
∴，可得，
∴，故的最大值为4.故选：A
7．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有数学王子的美誉，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其姓名命名的“高斯函数”为，其中表示不超过的最大整数，例如，已知函数，令函数，则 的值域为（       ）
A． B． C． D．
【解析】因为，所以，所以，
则的值域．故选：C．
8．已知函数，若在定义域内存在实数，使得，其中为整数，则称函数为定义域上的“阶局部奇函数”，若是上的“阶局部奇函数”，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【解析】由题意，函数，满足，解得，
因为函数是上的“阶局部奇函数”，
即关于的方程在上有解，
即在上有解，
可得，所以在有解，
又由，因为，所以，解得，
实数的取值范围是.故选：B.
9．如图所示的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们把这样的曲线叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点，其对应的方程为（，其中为不超过x的最大整数，）．若该葫芦曲线上一点N的横坐标为，则点N的纵坐标为（       ）
A． B． C． D．
【解析】由曲线过知，，
即，则，解得，
又，则，若该葫芦曲线上一点N的横坐标为，即，
代入曲线方程得到，
则，即点N的纵坐标为．故选：D
10．设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”.若函数（其中）为“倍缩函数”，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【解析】由已知可得，在上是增函数；
即，是方程的两个根，
设，则，此时方程为即方程有两个不等的实根，且两根都大于；
解得：，满足条件的范围是.故选：A
二、多选