人教高中数学专题25 导数中的三角函数问题(解析版).docx

专题25 导数中的三角函数问题
1．已知函数，，
(1)已知，求的值；
(2)是否存在，使得对任意，恒有成立？说明理由.
【解析】(1)因为，，
所以，而，由解得．
(2)对任意，恒成立，即
，化简可得，，所以时，可使得对任意，恒有成立．
2．设函数.
（1）若在处的切线为，求的值；
（2）当时，恒成立，求的范围.
【解析】（1）由得：，且.
由题意得：，即，又在切线上.
∴，得.
（2）当时，，得，
当时， ，
当时，，此时.
∴，即在上单调递増，则，
要使恒成立，即，∴.
3．设函数．
（1）若在上存在零点，求实数的取值范围；
（2）证明：当时，．
【解析】（1）设，因为当时，为增函数，
当时，，，
所以在上恒大于零，所以在上不存在零点，
当时，在上为增函数，根据增函数的和为增函数，
所以在上为单调函数，
所以在上若有零点，则仅有1个，
所以，即，解得，
所以实数的取值范围
（2）证明：设，则
，则，所以 ，
因为，所以，
所以在上递增，在上恒成立，
所以在上递增，而，
因为，所以，所以恒成立，
所以当时，
4．已知函数.
（1）证明：当时，函数有唯一的极大值；
（2）当恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）证明：，因为，所以，
当时，，
令，
在区间上单调递减；，
存在，使得，
所以函数递增区间是，递减区间是.
所以函数存在唯一的极大值.
（2）由，即令，
在区间上单调减函数，，只要即可，即.
5．已知函数．
（1）当a=2时，证明：在上单调递减．
（2）若对任意x≥0，恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】（1）证明：当a=2时，函数，
，若，则，．
因为，所以，故在上单调递减．
（2）解：当时，，对a∈R恒成立；
当x>0时，由，整理得．
设，则．
令，得，则在上单调递增
令，得，则在(0，1)上单调递减．
所以，．综上，实数a的取值范围是．
6．已知函数
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)若在上有两个极值点，求实数的取值范围.
【解析】（1）当时，，，，，在处的切线方程为，即；
（2）在上有两个极值点等价于在上有两个不同的实数根，
即在上有两个不同的实数根，令，，
令，解得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
又，，，
当时，方程在上有两个不同的实数根，实数的取值范围为.
7．已知函数
(1)若，判断f（x）在（，0）的单调性；
(2)在[0，]上有且只有2个零点，求a的取值范围.
【解析】（1）当时，.
当时，，所以，又，
故，从而，所以，f（x）在（，0）上单调递增；
（2）由函数，可知，则f（x）在上有且只有1个零点.，令，则在[0.]上恒成立.
即在[0，]上单调递，
当时，，f（x）在[0.]上单调递增.则f（x）在（0，]上无零点，不合题意，舍去，当时，，在[0，]上单调递减，
则在（0，]上无零点，不合题意，舍去，
当时，则在（0，）上只有1个零点，设为.
且当时，；当时，
所以当时，在（0，）上单调递减，在（，）上单调递增，
又，因此只需即可，即
综上所述：
8．已知函数，
(1)若在处的切线为，求实数a的值；
(2)当，时，求证：
【解析】(1)∵，∴，∴
(2)要证，即证，只需证，因为，
也就是要证，令，
∵，∴
∴在为减函数，∴，
∴，得证
9．已知函数.
(1)求的图象在点处的切线方程，并证明的图象上除点以外的所有点都在这条切线的上方；
(2)若函数，，证明：.（其中为自然对数的底数）
【解析】(1)，则，.
的图象在点处的切线方程为.
设，则，
令，得；令，得.
在上单调递减，在上单调递增，
当且时，，
的图象上除点以外的所有点都在这条切线的上方；
(2)由题可知，，.

，，由（1）知，当且仅当时，等号成立，
.
，函数在区间上为增函数。
则，原式得证.
10．已知（且），．
(1)求在上的最小值；
(2)如果对任意的，存在，使得成立，求实数a的取值范围．
【解析】(1)，
显然为偶函数，当时，
时，，，∴在单调递增；
时，，，∴在单调递减；
，，，∴在上的最小值为．
由偶函数图象的对称性可知在上的最小值为．
(2)先证，设，则，
令，令，
∴在上单调递增，在上单调递减．
故①恒成立．由题意可得，使得成立，
即成立．
由①可知，
参变分离得，设，，即只需即可．
由①知得，
∴
令，令，
∴在上单调递减，在上单调递增．
∴，∴，又已