人教高中数学专题34 导数中的构造必刷100题(解析版).docx

专题34 导数中的构造必刷100题
类型一:单选题1-50题
1．已知定义在上的函数的导函数为，且，若对任意，恒成立，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
依据题意，构造函数，然后计算，可知函数的单调性，简单判断可得结果.
【详解】
由题可知：，，
所以，即
令，则
又对任意，恒成立
所以，可知函数在单调递增
又，所以
所以即的解集为
即不等式的解集为
故选：C
2．设是定义在上的恒大于0的可导函数，且，则当时有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
令，根据题意求得，得到在为单调递减函数，由，得到，根据，即可求解.
【详解】
令，可得，
因为，所以，所以在为单调递减函数，
又因为，所以，即，
又由，所以.
故选：C.
3．设定义域为的函数满足，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
令，求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于x的不等式，解出即可．
【详解】
解：令，则 ，
故g（x）在R递增，
不等式，
即，
故，
故x＜2x−1，解得：x＞1，
故选：D.
4．已知是定义在R上的函数，是的导函数，满足：，且
，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
构造函数，利用导数求得的单调性，由此求得不等式的解集.
【详解】
令，则，
所以在R上单调递增，不等式可化为，
而，则，即，
所以，即不等式解集为.
故选：D
5．设定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
首先设，从而得到在上为增函数，将等价于，再利用单调性解不等式即可.
【详解】
设，，
所以在上为增函数.
又因为，所以，
所以.
故选：B
6．设是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【分析】
令，可得，当时，有，可得，即函数在上单调递增．又是上的奇函数，可得函数为奇函数，又，可得，，再分类讨论即可解出不等式．
【详解】
令，则，
当时，有，即，，
即函数在上单调递增．
又是上的奇函数，，
，
故函数为奇函数，
由奇函数的对称性可得在上单调递增．
又，， ，．
所以当时，当时，当时，当时，
由可得，，
即要使成立，只需成立；
所以的解集为
故选：D．
7．设函数在上的导函数为，若，，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
令，根据因为，得到，得出函数为上的单调递增函数，由题设条件，令，求得，把不等式转化为，结合单调性，即可求解.
【详解】
令，可得，
因为，可得，
所以，所以函数为上的单调递增函数，
由不等式，可得，
所以，即
因为，令，可得，
又因为，可得，所以
所以不等式等价于，
由函数为上的单调递增函数，所以，即不等式的解集为.
故选：A.
8．已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用，构造出，会得到在上单调递增，再将待解不等式的形式变成和相关的形式即可.
【详解】
设，因为为上奇函数，所以，
即为上奇函数对求导，得，
而当时，有，
故时，，即单调递增，所以在上单调递增
不等式
，又是奇函数，则，即
所以，解得，即.
故选：A.
9．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
构造函数，利用导数分析函数的单调性，利用定义分析出函数为奇函数，由得，分别、、三段解不等式，综合可得出该不等式的解集.
【详解】
当时，，令，则函数在上单调递增，
函数为上的奇函数，则函数的定义域为，
，所以，函数为奇函数.
则函数在区间上为增函数.
①当时，，合乎题意；
②当时，，由得，可得；
③当时，，由得，可得，此时.
综上所述，不等式的解集为.
故选：B.
10．设奇函数，的导函数为，且，当时，，则使得成立的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据所给不等式，构造函数，由导数与单调性关系可知在时单调递增，由函数奇偶性的性质可知为偶函数，画出函数示意图，即可求得成立的x的取值范围.
【详解】
令，
则，
当时，，
则当时，为单调递增