人教高中数学专题37 利用正态分布三段区间的概率值估计人数(解析版).docx

专题37 利用正态分布三段区间的概率值估计人数
一、单选题
1．某小区有1000户居民，各户每月的用电量（单位：度）近似服从正态分布，则用电量在210度以上的居民户数约为（ ）
（参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，）
A．17 B．23 C．90 D．159
【答案】D
【分析】
先求用电量在210度以上的概率，再求用电量在210度以上的居民户数.
【详解】
由题得，，
所以，
所以，
所以用电量在210度以上的居民户数为．
【点睛】
（1）本题主要考查正态分布曲线的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法；（2）对于正态分布曲线的概率的计算，不要死记硬背，要结合其图像分析求解.
2．某校1000名学生的某次数学考试成绩服从正态分布，正态分布密度曲线如图所示，则成绩位于区间(51，69]的人数大约是（ ）
A．997 B．954 C．800 D．683
【答案】D
【分析】
由题图知，，其中，，∴，从而可求出成绩位于区间的人数.
【详解】
由题图知，，其中，，
∴，
∴人数大约为0.6827×1000≈683.
故选：D.
【点睛】
此题考查正态分布曲线的特点及曲线表示的意义，属于基础题.
3．在某市2020年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布．已知参加本次考试的全市理科学生约1万人．某学生在这次考试中的数学成绩是分，那么他的数学成绩大约排在全市第多少名？（ ）
参考数据：若，则，，
A．1600 B．1700 C．4000 D．8000
【答案】A
【分析】
利用正态分布的性质及密度曲线特点求解数学成绩高于的大致人数，然后估计他的排名.
【详解】
由理科学生的数学成绩服从正态分布可知，，，
又，故，
所以，
又全市理科学生约1万人， 故成绩高于分的大致有人，
所以他的数学成绩大约排在全市第名.
故选：A.
【点睛】
本题考查正态分布及概率计算，较简单，只需要根据正态分布密度曲线的分布特点及题目所给数据进行计算即可.
4．已知参加2020年某省夏季高考的53万名考生的成绩近似地服从正态分布，估计这些考生成绩落在的人数约为（ ）
(附：，则，)
A．36014 B．72027 C．108041 D．168222
【答案】B
【分析】
由题可求出，，即可由此求出，进而求出成绩落在的人数.
【详解】
，，
，，
，
这些考生成绩落在的人数约为.
故选：B.
【点睛】
本题考查正态分布的相关概率计算，属于基础题.
5．某地区有10000名高三学生参加了网上模拟考试，其中数学分数服从正态分布，成绩在(117,126]之外的人数估计有（ ）
（附：若服从，则，）
A．1814人 B．3173人 C．5228人 D．5907人
【答案】A
【分析】
由,可得,进而由数据及对称性求得概率,即可求解.
【详解】
由题,,,
,
所以,
所以人,
故选:A
【点睛】
本题考查正态分布的应用,考查由正态分布的区间及对称性求概率.
6．设随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ）
（注：若，则，）
A．7539 B．7028 C．6587 D．6038
【答案】C
【分析】
由题意正方形的面积为，再根据正态分布曲线的性质，求得阴影部分的面积，利用面积比的几何概型求得落在阴影部分的概率，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意知，正方形的边长为1，所以正方形的面积为
又由随机变量服从正态分布，
所以正态分布密度曲线关于对称，且，
又由，即，
所以阴影部分的面积为，
由面积比的几何概型可得概率为，
所以落入阴影部分的点的个数的估计值是，故选C．
【点睛】
本题主要考查了正态分布密度曲线的性质，以及面积比的几何概型的应用，其中解答中熟记正态分布密度曲线的性质，准确求得落在阴影部分的概率是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
7．贵阳市一模考试中，某校高三1500名学生的数学成绩X近似服从正态分布，则该校数学成绩的及格人数可估计为（ ）（成绩达到90分为及格）（参考数据：）
A．900 B．1020 C．1140 D．1260
【答案】D
【分析】
根据题意得，从而得到，故，再估计及格人数即可.
【详解】
由题得，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴该校数学成绩的及格率可估计为