人教专题2.13 对数与对数函数-重难点题型精讲（举一反三）（新高考地区专用）（解析版）.docx

专题2.13 对数与对数函数-重难点题型精讲
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中_a_叫做对数的底数，_N_叫做真数．
2．对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝logaM＋logaN．
②loga＝logaM－logaN．
③logaMn＝nlogaM (n∈R)．
(2)对数的性质
①负数和零没有对数；
②loga1＝0，logaa＝1(a>0，且a≠1)．
③＝N(a>0，a≠1，且N>0)．
④logaaN＝N(a>0，且a≠1)．
(3)对数的换底公式
logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
3．对数函数的图象与性质
y＝logax
a>1
0<a<1
图象
定义域
(1)(0，＋∞)
值域
(2)R
性质
(3)过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
(4)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0
(5)当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0
(6)在(0，＋∞)上是增函数
(7)在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
【题型1 对数的运算】
(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对
数运算性质化简合并．
(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、
商、幂的运算．
【例1】（2022•遵义开学）已知lg2＝a，lg3＝b，则log475＝（　　）
A．a−b+22a B．b−a+22a C．b−2a+22a D．2a−b+22a
【解题思路】根据对数的换底公式和对数的运算性质求解即可．
【解答过程】解：∵lg2＝a，lg3＝b，
∴log475=lg75lg4=2lg5+lg32lg2=2(1−lg2)+lg32lg2=lg3−2lg2+22lg2=b−2a+22a．
故选：C．
【变式1-1】（2022春•银川校级期末）已知3a＝5b且2a+1b=1，则a的值为（　　）
A．log315 B．log515 C．log345 D．log545
【解题思路】根据条件可得出b＝alog53，然后代入2a+1b=1，根据对数的运算性质即可求出a的值．
【解答过程】解：b＝alog53，
∴2a+1alog53=1，
∴2a+log35a=1，
∴a＝2+log35＝log39+log35＝log345．
故选：C．
【变式1-2】（2022春•西青区校级期末）若ln2＝a，ln3＝b，则log818＝（　　）
A．a+3ba3 B．a+2b3a C．a+2ba3 D．a+3b3a
【解题思路】利用对数的性质和运算法则及换底公式求解．
【解答过程】解：∵ln2＝a，ln3＝b，
∴log818=ln18ln8=ln2+2ln33ln2=a+2b3a，
故选：B．
【变式1-3】（2022春•渝中区校级期末）化简(1og62)2+log62⋅log63+2log63−6log62的值为（　　）
A．﹣log62 B．﹣log63 C．log63 D．﹣1
【解题思路】根据对数的运算性质进行运算化简即可．
【解答过程】
解：(log62)2+log62⋅log63+2log63−6log62=log62+2log63−2=log63−1=−log62，
故选：A．
【题型2 对数函数的图象及应用】
【方法点拨】
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
【例2】（2022•潍坊二模）已知函数f（x）＝loga（x﹣b）（a＞0且a≠1）的图像如图所示，则以下说法正确的是（　　）
A．a+b＜0 B．ab＜﹣1 C．0＜ab＜1 D．loga|b|＞0
【解题思路】利用图像可求出a与b的取值范围，即判断正确答案．
【解答过程】解：由图像可知a＞1，﹣1＜b＜0，所以选项A，B不正确，ab可看作单调递增的指数函数，所以1a＜ab＜1，因为a＞1所以1a＞0，即选项C正确，
由对数函数性质可知loga|b|＜0，所以D选项错误．
故选：C．
【变式2