人教专题4.3 应用导数研究函数的极值、最值 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（练）解析版.docx

专题4.3 应用导数研究函数的极值、最值
练基础
1．（2021·河南高三其他模拟（文））函数在上的最小值为（ ）
A． B．-1 C．0 D．
【答案】B
【解析】
求导后求得函数的单调性，利用单调性求得函数的最小值.
【详解】
因为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.
故答案为：B.
2．（2021·全国高考真题（理））设，若为函数的极大值点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
结合对进行分类讨论，画出图象，由此确定正确选项.
【详解】
若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.
依题意，为函数的极大值点，
当时，由，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
当时，由时，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
综上所述，成立.
故选：D
3．（2021·全国高三其他模拟）已知函数f（x）＝﹣ex，则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）无极大值，也无极小值
B．f（x）有极大值，也有极小值
C．f（x）有极大值，无极小值
D．f（x）无极小值，有极大值
【答案】C
【解析】
求导判断函数的单调性，但由于不容易判断正负，所以需要二次求导来判断.
【详解】
因为，所以，
令，
，
因为，所以，即，故，
所以在上单调递减，
又因为， ，
所以存在唯一的，使得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以f（x）有极大值，无极小值.
故选：C.
4.（2021·全国高三月考（理））已知函数，当时，恒成立，则实数的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
首先将不等式转化为，又时，，问题转化为在上递减，所以当时，恒成立，最后参变分离得到参数的最大值.
【详解】
∵在时恒成立，
而时，，
∴在上递减，
∴当时，恒成立，
即时，恒成立，
故，
∴实数的最大值为3，
故选B.
5．（2021·广东高三其他模拟）若函数有最小值，则的一个正整数取值可以为___________.
【答案】4
【解析】
分段研究函数的单调性及最值得解
【详解】
在上单调递增，
∴；当时，，此时，.
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴在上的最小值为，函数有最有最小值，则，即，故的一个正整数取值可以为4.
故答案为：4
6．（2021·全国高三其他模拟（文））函数取最大值时的值为___________.
【答案】
【解析】
求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，求出函数取最大值时x的值即可.
【详解】
解：
令，即，解得：或或，
时时，，
故在[上单调递增，在上单调递减，
故时，取最大值，
故答案为：
7．（2021·陕西宝鸡市·高三二模（文））设是函数的一个极值点，则___________.
【答案】
【解析】
由条件可得，然后由算出答案即可.
【详解】
因为，是函数的一个极值点
所以，所以
所以
故答案为：
8.（2021·贵州贵阳市·贵阳一中高三月考（理））已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数的最小值
【答案】（1）单调减区间是(-∞，，0)，单调增区间是(0，+∞)；（2）最小值1.
【解析】
（1）直接利用导数求函数的单调区间；
（2）由（1）可得ex≥x+1，当且仅当x=0时，等号成立，
把转化为，直接求出最小值1，并判断出g(x)取得最小值时条件存在.
【详解】
解∶（1）的定义域为R, ，
当x<0时，有，当x>0时，有；
所以函数f(x)的单调减区间是(-∞，，0)，单调增区间是(0，+∞).
（2）由（1）可得f(x)min=f(0)=0，有ex≥x+1，当且仅当x=0时，等号成立，
所以，
当且仅当lnx+x=0时，等号成立.
设h(x)=lnx+x(x>0)，
所以h(x)在(0，+∞)上是增函数，.
而，h（1）=1>0，
由零点存在性定理，存在唯一，使得h(x0)=0，
所以当x=x0时，函数g(x)取得最小值1.
9．（2021·河南高三其他模拟（文））已知函数 .
（1）若，求曲线在点处的切线方程.
（2）若，证明：存在极小值.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，再根据函数表达式求出切点坐标，再由点斜式即可求出切线方程；
（2）通过二次求导得到的单调区间，从而可以证明存在极小值.
【详解】
（1）当时，，
所以.
所以，.
故曲线在点处的切线方程为，
即.
（2