人教专题4.6 三角恒等变换-重难点题型精练（举一反三）（新高考地区专用）（解析版）.docx

专题4.6 三角恒等变换-重难点题型精练
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022•靖远县开学）已知sin（α+π2）=34，则cos2α＝（　　）
A．716 B．−716 C．18 D．−18
【解题思路】由已知利用诱导公式求得cosα，再由二倍角的余弦求解．
【解答过程】解：∵sin（α+π2）=34，∴cosα=34，
则cos2α=2cos2α−1=2×(34)2−1=18．
故选：C．
2．（5分）（2021秋•新乡期末）已知3π2＜α＜2π，则1+cosα1−cosα+1−cosα1+cosα=（　　）
A．−1sinα B．1sinα C．−2sinα D．2sinα
【解题思路】利用二倍角公式进行化简即可．
【解答过程】解：因为3π4＜α2＜π，所以sinα2＞0，cosα2＜0，
所以1+cosα1−cosα+1−cosα1+cosα=1+2cos2α2−11−1+2sin2α2+1−1+2sin2α21+2cos2α2−1=cos2α2sin2α2+sin2α2cos2α2=−(cosα2sinα2+sinα2cosα2)=−2sinα．
故选：C．
3．（5分）（2022秋•大理市校级月考）若tanα＝3，则2sin2αtan(α+π4)的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣6 C．−310 D．−35
【解题思路】直接利用三角函数关系式的恒等变换和三角函数的值的应用求出结果．
【解答过程】解：由于tanα＝3，
所以：2sin2αtan(α+π4)=2sin2α1+tanα1−tanα=4tanα1+tan2α1+tanα1−tanα=−35．
故选：D．
4．（5分）（2022•常熟市校级开学）已知θ为第二象限角，且满足sinθcos2θsinθ−cosθ=−35，则tan(θ+π4)=（　　）
A．13 B．−13 C．12 D．−12
【解题思路】由已知利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式可得2tan2θ+5tanθ﹣3＝0，由θ为第二象限角，tanθ＜0，解方程可得tanθ的值，进而利用两角和的正切公式即可求解tan(θ+π4)的值．
【解答过程】解：因为sinθcos2θsinθ−cosθ=−35，
所以sinθ(cosθ+sinθ)(cosθ−sinθ)sinθ−cosθ=−35，可得sinθ（cosθ+sinθ）=35，
所以sinθcosθ+sin2θsin2θ+cos2θ=tanθ+tan2θtan2θ+1=35，整理可得2tan2θ+5tanθ﹣3＝0，
因为θ为第二象限角，tanθ＜0，
所以解得tanθ＝﹣3，或12（舍去），
则tan(θ+π4)=tanθ+11−tanθ=−3+11−(−3)=−12．
故选：D．
5．（5分）（2022•武陵区校级开学）已知角α，β的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，若角α的终边过点（2，1），cos(α+β)=45，且β∈(0，π2)，则sinβ＝（　　）
A．525 B．55 C．2525 D．255
【解题思路】利用三角函数的定义求出sinα和cosα的值，再结合cos(α+β)=45，可得α+β为第一象限角，sin（α+β）=35，sinβ＝sin[（α+β）﹣α]，利用两角差的正弦公式展开即可求解．
【解答过程】解：因为角α的终边过点（2，1），所以α是第一象限角，
所以sinα=122+12=55，cosα=222+12=255，
因为β∈（0，π2），cos(α+β)=45，所以α+β为第一象限角，，
所以sin（α+β）=1−(45)2=35，
所以sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=35×255−45×55=2525．
故选：C．
6．（5分）（2022•宝山区校级开学）已知α、β都是锐角，且3sin2α+2sin2β＝1，3sin2α﹣2sin2β＝0，那么α、β
之间的关系是（　　）
A．α+β=π4 B．α−β=π4 C．α+2β=π4 D．α+2β=π2
【解题思路】推导出sin2βcos2β=cosαsinα，可得出cos（α+2β）＝0，求出α+2β的取值范围，即可得解．
【解答过程】解：因为3sin2α+2sin2β＝1，则3sin2α＝1﹣2sin2β＝cos2β，
所以，2sin2β＝3sin2α＝6sinαcosα，
因为α、β都是锐角，由题意可得cos2β＝3sin2α＞0，所以，sin2βcos2β=cosαsinα，
所以，cosαcos2β﹣sinαsin2β＝cos（α+2