人教专题5.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）解析版.docx

专题5.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数
新课程考试要求
1.了解角、角度制与弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算.
2. 理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义.
核心素养
本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（例1.5.6）、数学建模（例7.8）、直观想象（例7.8）、数学运算（多例）、数据分析等.
考向预测
（1）三角函数的定义；
（2）扇形的面积、弧长及圆心角；
（3）在大题中考查三角函数的定义，主要考查：一是直接利用任意角三角函数的定义求其三角函数值；二是根据任意角三角函数的定义确定终边上一点的坐标．
【知识清单】
知识点1．象限角及终边相同的角
1．任意角、角的分类：
①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．
②按终边位置不同分为象限角和轴线角．
(2)终边相同的角：
终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．
2.弧度制：
①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．
③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．
3.弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．
若一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝()°，n°＝n· rad．
知识点2．三角函数的定义
1.任意角的三角函数定义：
设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
（1）点P的纵坐标叫角α的正弦函数，记作sin α＝y；
（2）点P的横坐标叫角α的余弦函数，记作cos α＝x；
（3）点P的纵坐标与横坐标之比叫角α的正切函数，记作tan α＝.它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．

将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数y＝sinx，x∈R； 余弦函数 y＝cosx，x∈R； 正切函数 y＝tanx，x≠＋kπ（k∈Z）．
三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦
知识点3．扇形的弧长及面积公式
(1)弧长公式
在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角大小为α，则|α|＝，变形可得l＝|α|r，此公式称为弧长公式，其中α的单位是弧度．
(2)扇形面积公式
由圆心角为1 rad的扇形面积为＝r2，而弧长为l的扇形的圆心角大小为 rad，故其面积为S＝×＝lr，将l＝|α|r代入上式可得S＝lr＝|α|r2，此公式称为扇形面积公式．
(3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示
名称
角度制
弧度制
弧长公式
l＝
l＝__|α|r__
扇形面积公式
S＝
S＝　r2　＝　lr　
注意事项
r是扇形的半径，n是圆心角的角度数
r是扇形的半径，α是圆心角的弧度数，l是弧长
【考点分类剖析】
考点一 象限角及终边相同的角
【典例1】（2021·赤峰二中高三月考（理））若角的终边与240°角的终边相同，则角的终边所在象限是（ ）
A．第二或第四象限 B．第二或第三象限
C．第一或第四象限 D．第三或第四象限
【答案】A
【解析】
写出的表达式，计算后可确定其终边所在象限．
【详解】
由题意，所以，，
当为偶数时，在第二象限，当为奇数时，在第四象限．
故选：A．
【规律方法】
象限角的两种判断方法
(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．
(2)转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
【变式探究】
（2021·上海高一课时练****设与终边相同的角的集合为M，则①；②M中最小正角是；③M中最大负角是，其中正确的有____________.（选填序号）
【答案】①②③
【解析】
先将角化为的结构即可判断①是否正确，再适当地取k的值可以判断②和③是否正确.
【详解】
因为，所以①正确，
令k=0，可得②正确；
令k=-1，可得③正确.
故答案为：①②③.
【总结提升】
象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示
(1)象限角：
象限角
集合表示
第一象限角
{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}
第二象限角
{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}
第三象限角
{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}
第四象限角