人教专题5.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）解析版.docx

专题5.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式
新课程考试要求
1. 理解同角三角函数的基本关系.
2. 掌握正弦、余弦、正切的诱导公式.
核心素养
本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（多例）、直观想象（例7）、数学运算（多例）、数据分析等.
考向预测
（1）公式的应用.
（2）高考对同角三角函数基本关系式和诱导公式的考查方式以小题或在大题中应用为主，较多年份与其它三角公式的应用综合考查．
【知识清单】
知识点1．同角三角函数的基本关系式
1.同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．
(2)商数关系：tan α＝.
2.对同角三角函数基本关系式的理解
注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．
3．常用的等价变形
sin2α＋cos2α＝1⇒
tanα＝⇒
知识点2．三角函数诱导公式
六组诱导公式
　角
函数　
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin_α
－sin_α
－sin_α
sin_α
cos_α
cos_α
余弦
cos_α
－cos_α
cos_α
－cos_α
sin_α
－sin_α
正切
tan_α
tan_α
－tan_α
－tan_α
对于角“±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号
”
知识点3．特殊角的三角函数值（熟记）
【考点分类剖析】
考点一 同角三角函数的基本关系式
【典例1】（2021·辽宁葫芦岛市·高三二模）若，为钝角，则的值为___________(用表示).
【答案】(亦可)
【解析】
由题知，再根据得，进而得.
【详解】
因为，为钝角，
所以，
又因为，
所以，即，
所以，
故答案为：
【典例2】（2020·金华市江南中学高一月考）已知=2，则tanx=____，sinxcosx=____.
【答案】3
【解析】
【分析】
将=2左端分子分母同除以，得，解得，
.
故答案为：；
【规律方法】
1.同角三角函数关系式的三种应用方法--“弦切互化法”、““1”的灵活代换法”、“和积转换法”
(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，注意等；
(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．
2. 利用＝tanα可以实现角α的弦切互化．
（1）若已知tanα＝m，求形如(或)的值，其方法是将分子、分母同除以cosα(或cos2α)转化为tanα的代数式，再求值，如果先求出sinα和cosα的值再代入，那么运算量会很大，问题的解决就会变得繁琐．
（2）形如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α通常把分母看作1，然后用sin2α＋cos2α代换，分子、分母同除以cos2α再求解．
【变式探究】
1.【多选题】若，且为锐角，则下列选项中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】
，且为锐角，
，故正确，
，故正确，
，故错误，
，故错误.
故选：.
2.（2020·山西平城�大同一中高一月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由已知．
故选：B．
【总结提升】
在使用开平方关系sinα＝±和cosα＝±时，一定要注意正负号的选取，确定正负号的依据是角α所在的象限，如果角α所在的象限是已知的，则按三角函数在各个象限的符号来确定正负号；如果角α所在的象限是未知的，则需要按象限进行讨论．
考点二 sinαcosα与sinαcosα的关系及应用
【典例3】（2021·山西临汾市·高三二模（理））已知，且，则________．
【答案】
【解析】
已知等式平方求得，利用可解得，注意由已知条件判断出，从而得正确结论．
【详解】
因为，所以，，
又，所以，所以，即．
所以，解得．
又，，而，所以．
所以．
故答案为：．
【典例4】（2020·永州市第四中学高一月考）已知.