人教专题8.7 立体几何中的向量方法 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）解析版.docx

专题8.7 立体几何中的向量方法
新课程考试要求
1.理解直线的方向向量与平面的法向量.
2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.
3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).
4．会用向量方法求解两异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的问题.
核心素养
本节涉及的数学核心素养：数学运算、逻辑推理、直观想象等.
考向预测
（1）以几何体为载体，综合考查平行或垂直关系证明，以及角与距离的计算.
（2）利用几何法证明平行、垂直关系，利用空间向量方法求角或距离.
（3）利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点，内容以解答题中的一问为主，主要围绕考查空间直角坐标系的建立、空间向量的坐标运算能力和分析解决问题的能力命制试题，以多面体为载体、证明线面(面面)的平行(垂直)关系是主要命题方向．空间的角与距离的计算（特别是角的计算）是高考热点，一般以大题的条件或一小问形式呈现，考查用向量方法解决立体几何问题，将空间几何元素之间的位置关系转化为数量关系，并通过计算解决立体几何问题．距离问题往往在与有关面积、体积的计算中加以考查．此类问题往往属于“证算并重”题，即第一问用几何法证明平行关系或垂直关系，第二问则通过建立空间直角坐标系，利用空间向量方法进一步求角或距离.
【知识清单】
知识点1．利用空间向量证明平行问题
1.直线的方向向量与平面的法向量的确定
①直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量．
②平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为
2.用向量证明空间中的平行关系
①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.
②设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使
v＝xv1＋yv2.
③设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.
④设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2.
知识点2．利用空间向量证明垂直问题
1. 用向量证明空间中的垂直关系
①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.
②设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.
③设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.
2.共线与垂直的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，
a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)．
知识点3．异面直线所成的角
1.两条异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，则a′与b′所夹的锐角或直角叫做a与b所成的角．
②范围：两异面直线所成角θ的取值范围是．
③向量求法：设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为φ，则有.
知识点4．直线与平面所成角
1．直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α