人教专题13 不等式选讲-2022年高考真题和模拟题数学分专题训练(教师版含解析).docx

专题13 不等式选讲
1．【2022年全国甲卷】已知a，b，c均为正数，且a2+b2+4c2=3，证明：
(1)a+b+2c≤3；
(2)若b=2c，则1a+1c≥3．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)根据a2+b2+4c2=a2+b2+2c2，利用柯西不等式即可得证；
(2)由(1)结合已知可得0<a+4c≤3，即可得到1a+4c≥13，再根据权方和不等式即可得证.
(1)
证明：由柯西不等式有a2+b2+2c212+12+12≥a+b+2c2，
所以a+b+2c≤3，
当且仅当a=b=2c=1时，取等号，
所以a+b+2c≤3；
(2)
证明：因为b=2c，a>0，b>0，c>0，由(1)得a+b+2c=a+4c≤3，
即0<a+4c≤3，所以1a+4c≥13，
由权方和不等式知1a+1c=12a+224c≥1+22a+4c=9a+4c≥3，
当且仅当1a=24c，即a=1，c=12时取等号，
所以1a+1c≥3.
2．【2022年全国乙卷】已知a，b，c都是正数，且a32+b32+c32=1，证明：
(1)abc≤19；
(2)ab+c+ba+c+ca+b≤12abc；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)利用三元均值不等式即可证明；
(2)利用基本不等式及不等式的性质证明即可．
(1)
证明：因为a>0，b>0，c>0，则a32>0，b32>0，c32>0，
所以a32+b32+c323≥3a32⋅b32⋅c32，
即abc12≤13，所以abc≤19，当且仅当a32=b32=c32，即a=b=c=319时取等号．
(2)
证明：因为a>0，b>0，c>0，
所以b+c≥2bc，a+c≥2ac，a+b≥2ab，
所以ab+c≤a2bc=a322abc，ba+c≤b2ac=b322abc，ca+b≤c2ab=c322abc
ab+c+ba+c+ca+b≤a322abc+b322abc+c322abc=a32+b32+c322abc=12abc
当且仅当a=b=c时取等号．
1．(2022·吉林长春·模拟预测(文))设函数．
(1)求不等式的解集；
(2)设a，b是两个正实数，若函数的最小值为m，且．证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)先去掉绝对值，变为分段函数，再求解不等式的解集；
(2)利用第一问的分段函数得到函数图象，求出函数的最小值，也就是的值，再用柯西不等式进行证明．
(1)
解：由已知得：，
又，所以或或，
解得或或
综上，不等式的解集为；
(2)
解：由(1)可知，所以的函数图象如下所示：
所以当时取值最小值，所以，
即，又、，
由柯西不等式：，
所以，当且仅当时取等号．
2．(2022·云南昆明·模拟预测(理))设a，b，c均为正数，且．
(1)求的最小值；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)依题意可得，则，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得；
(2)利用柯西不等式证明即可；
(1)
解：，，都是正数，且，，
当且仅当即时等号，
即的最小值为；
(2)
证明：由柯西不等式得
即，
故不等式成立，
当且仅当时等号成立；
3．(2022·安徽淮南·二模(文))已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)设函数在上的最小值为m，正数a，b满足，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)讨论和分别求解；
(2)当时，易知函数的最小值为，可得，代入整理得
，再利用基本不等式．
(1)
原不等式可化为
①；②．
解①得；
解②得，
所以原不等式的解集为．
(2)
当时，在上单调递增
所以函数的最小值为，于是即
，
当且仅当时等号成立
即
4．(2022·贵州贵阳·二模(理))已知
(1)证明：；
(2)已知，，求的最小值，以及取得最小值时的，的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)最小值为， 或
【解析】
【分析】
(1)利用作差法证明不等式；
(2)令代入(1)中不等式可得最小值及取得最小值是值．
(1)
因为
，
所以，当且仅当时取等号．
(2)
由(1)可得，
所以，即，
当且仅当时取等号．
由，解得或．
综上，的最小值为，此时，的值为或．
5．(2022·四川·宜宾市教科所三模(理))已知函数．
(1)解关于的不等式；
(2)设，的最小值为，若，，，求的最小值．