人教高中数学专题01 不等式综合问题（讲）（解析版）.docx

第一篇 热点、难点突破篇
专题01 不等式综合问题（讲）
真题体验 感悟高考
1．（2020·山东·高考真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题可根据图像得出结果.
【详解】结合图像易知，
不等式的解集，
故选：A.
2．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．
【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为
，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．
3．（2021·全国·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．
【详解】由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．
故选：C．
4．（2008·四川·高考真题（理））已知等比数列中，则其前项的和的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，由等比数列的通项表示（即的代数式），然后根据的正负性进行分类，分别求出的范围即可.
【详解】设等比数列的公比为，
等比数列中，
，
当时，；
当时，；
.
故选：D.
5．【多选题】（2022·全国·高考真题）若x，y满足，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．
【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；
由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；
因为变形可得，设，所以，因此
，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．
故选：BC．
总结规律 预测考向
（一）规律与预测
1.简单不等式的解法是高考数学的基本要求，在许多题目中起到工具作用.
2.解答求最值和不等式恒成立问题，常用到基本不等式，往往与函数、立体几何、解析几何等交汇命题.
3.独立考查不等式问题，题型多以选择题、填空题形式考查，中等难度．
（二）本专题考向展示

考点突破 典例分析
考向一 　不等式的性质与解法
【核心知识】
1．倒数性质的几个必备结论
(1)a>b，ab>0⇒<.
(2)a<0<b⇒<.
(3)a>b>0,0<c<d⇒>.
(4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<.
2．两个重要不等式
若a>b>0，m>0，则
(1)<；>(b－m>0)．
(2)>；<(b－m>0)．
3.一元二次不等式的解法: 先将不等式化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应的一元二次方程ax2＋bx＋
c=0(a≠0)的根，最后根据相应的二次函数的图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的ax2＋bx＋c>0(a≠0)解集.
【典例分析】
典例1.（2018·全国·高考真题（理））设，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】分析：求出，得到的范围，进而可得结果．
详解：.
,即
又
即
故选B.
典例2. 若不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D. ∪{2}
【答案】B
【解析】当a2－4＝0时，解得a＝2或a＝－2，
当a＝2时，不等式可化为4x－1≥0，解集不是空集，不符合题意；当a＝－2时，不等式可化为－1≥0，此式不成立，解集为空集．
当a2－4≠0时，要使不等式的解集为空集，
则有解得－2<a<.
综上，实数a的取值范围是.
典例3.【多选题】（2021·河北高三二模）若实数，满足，则下列选项中一定成立的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】
根据条件，可得或，逐一分析四个选项，即可得答案.
【详解】
因为，所以，
所以或，
所以或，
所以，故A正确；
若，则，故B错误；
若，则，所以，