人教高中数学专题01 不等式综合问题（练）（解析版）.docx

第一篇 热点、难点突破篇
专题01 不等式综合问题（练）
【对点演练】
一、单选题
1．（2022·辽宁·朝阳市第一高级中学高三阶段练****已知命题：，是假命题，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一元二次不等式恒成立求解实数的取值范围.
【详解】由题意得是真命题，即，，
当时，符合题意；
当时，有，且，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故选:D.
2．（2022·全国·高三专题练****不等式的解集为,则函数的图像大致为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，可得方程的两个根为和，且，结合二次方程根与系数的关系得到、、的关系，再结合二次函数的性质判断即可．
【详解】根据题意，的解集为，则方程的两个根为和，且.
则有，变形可得，
故函数是开口向下的二次函数，且与轴的交点坐标为和.
对照四个选项，只有C符合.
故选：C．
3．（2022·重庆市云阳县高阳中学高三阶段练****理））关于的不等式恒成立的一个充分不必要条件是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据二次不等式恒成立得，再根据充分不必要条件的概念求解即可.
【详解】解：当时，，该不等式成立；
当，即时，该不等式成立；
综上，得当时， 关于的不等式恒成立，
所以，关于的不等式恒成立的一个充分不必要条件是．
故选：D．
4．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练****理））《忠经·广至理章第十二》中有言“不私，而天下自公”，在实际生活中，新时代的青年不仅要有自己“不私”的觉悟，也要有识破“诈公”的智慧.某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（    ）
A．大于 B．小于 C．等于 D．以上都有可能
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
【详解】由于天平两臂不相等，
故可设天平左臂长为，右臂长为（不妨设，
第一次称出的黄金重为，第二次称出的黄金重为，
由杠杆平衡定理可得，，，
则，，，
故顾客实际所得黄金大于．
故选：．
5．（2022·湖北·高三阶段练****已知随机变量，且，则的最小值为（    ）
A．9 B．8 C． D．6
【答案】B
【分析】由正态曲线的对称轴得出，再由基本不等式得出最小值.
【详解】由随机变量，则正态分布的曲线的对称轴为，
又因为，所以，所以.
当时，，
当且仅当，即时等号成立，故最小值为.
故选：B
二、多选题
6．（2020·山东·青岛二中高三期中）设，，则下列结论正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】结合已知条件，可得到，对于选项A：对两边同时平方，并利用不等式性质即可判断；对于B：利用不等式性质即可判断；对于CD：结合均值不等式即可判断.
【详解】由，，则，，
对于A：由两边平方并整理得，，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：由选项B知，，又，故C正确；
对于D：因为，又，，故D正确.
故选：BCD.
7．（2022·江苏江苏·高三阶段练****已知，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】由题可得，进而可得可判断A，根据特值可判断B，根据基本不等式可判断C，利用二次函数的性质可判断D.
【详解】由，可得，
因为，所以，
所以，即，故A正确；
取，，而，故B错误；
因为，当且仅当时等号成立，
所以，故C正确；
由，可得，
，当时等号成立，故D正确.
故选：ACD.
8．（2022·河北·开滦第一中学高三阶段练****若对任意恒成立，其中，是整数，则的可能取值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】对分类讨论，当时，由可得，由一次函数的图象知不存在；当时，由，利用数形结合的思想可得出的整数解.
【详解】当时，由可得对任意恒成立，
即对任意恒成立，此时不存在；
当时，由对任意恒成立，
可设，，作出的图象如下，
由题意可知，再由，是整数可得或或
所以的可能取值为或或
故选：BCD
三、填空题
9．（2022·广西南宁·模拟预测（文））若直线平分圆的周长，则ab的最大值为 ________
【答案】
【分析】因为直线平分圆，则直线过圆心，再利用基本不等式求出ab的最大值.
【详解】由题意得，直线过圆心，所以，
所以，（当且仅当，