人教高中数学专题3-6 利用导函数研究方程的根（函数的零点）(解析版）.docx

专题3-6利用导函数研究方程的根（函数的零点）
目录
1
题型一：判断（证明）函数零点个数 1
题型二：利用函数极值（最值）研究函数的零点 9
题型三：已知函数的零点个数求参数的取值范围(或值) 15
题型四：利用数形结合法（等价为两个函数图象交点）研究函数的零点（方程的根） 22
题型五：以函数零点为背景的含双参不等式的证明 32
题型六：导数解决函数隐零点问题 44
50
题型一：判断（证明）函数零点个数
【典例分析】
例题1．（2022·河南·驻马店开发区高级中学高三阶段练****文））已知函数图象的对称中心为，则的零点个数为（    ）
A．2 B．1 C．4 D．3
【答案】D
【详解】因为，所以，即，所以
，即，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，所以图象的对称中心为，则， ，故，则，则在上单调递减，因为，，所以在上存在1个零点.因为，，所以在上存在1个零点，因为，，所以在上存在1个零点，当时，，，，所以恒成立，所以函数在上没有零点，故的零点个数为3，
故选：D.
例题2．（2022·全国·高三专题练****已知函数，讨论函数的零点的个数.
【答案】答案见解析
【详解】由得， 设，  
则，
令，得，此时单调递增，
令，得，此时单调递减，
即当时，g(x)取得极大值即，
由，单调递增，可得与x轴只有一个交点，
由，单调递减，可得与x轴没有交点，
画出的大致图象如图， 可得m≤0或m=时，有1个零点；
当0<m<时，有2个零点；当m>时，没有零点.
综上所述，当m≤0或m=时，有1个零点；
当0<m<时，有2个零点；
当m>时，没有零点.
例题3．（2022·安徽·安庆一中高三阶段练****理））已知函数.
(1)若的图象在点处的切线斜率为，求的值；
(2)当时，判断在内有几个零点，并证明.
【答案】(1)
(2)1个，证明见解析
【详解】（1）由题，，
则，即，
解得
（2）当时，在内有1个零点，证明如下：
由题，令，即，则，
设，所以，
因为当时，，，
所以当时，，即在上单调递减，
因为，当时，，
所以，
所以当时，与在内有一个交点，
即当时，在内有1个零点.
【提分秘籍】
1.利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式、三角式及绝对值式等函数零点的个数(或方程根的个数)问题的一般思路:
(1)可转化为用导数研究其函数的图象与轴(或直线)在该区间上的交点问题;
(2)利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质,进而画出其图象;
(3)结合图象求解.
2.证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤:
第一步,利用导数证明该函数在该区间上单调性，
第二步,证明端点的导数值异号.
【变式演练】
1．（2022·湖南·高三阶段练****已知函数，则函数的零点个数为_________．
【答案】2
【详解】，令，则．
当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减，所以，当；当，如下图所示：
所以，使得，使得，故有两个零点．
故答案为：2.
2．（2022·河南南阳·高二阶段练****理））已知函数，．
(1)求证：函数有唯一的零点，并求出此零点；
(2)求曲线过点的切线方程．
【答案】(1)证明见解析，零点为0
(2)
(1)
函数的定义域为，，
令，而，
故在上单调递减，在单调递增．
所以，，即．
故在上是单调递增的．
又因为，因此，函数有唯一的零点，零点为0．
(2)
（2）显然，点不在函数图像上，不妨设切点坐标为．
又，即，消去得，
由（1）知，则，，
故所求的切线方程为：．
3．（2022·全国·高二专题练****已知函数.
(1)求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
(2)判断函数f（x）的零点的个数，并说明理由.
【答案】(1)；
(2)2个零点，理由见解析.
（1）
由，
而，所以该函数在点（0，f（0））处的切线方程为：
；
（2）
函数的定义域为，
由（1）可知：，
当时，单调递增，
因为，所以函数在时有唯一零点；
当时，单调递增，
因为，所以函数在时有唯一零点，
所以函数f（x）有个零点.
4．（2022·全国·成都七中高三开学考试（文））设函数​为常数).
(1)讨论​的单调性；
(2)讨论函数​的零点个数.
【答案】(1)递减区间，递增区间；
(2)答案见解析.
（1）
当时，由求导得：，显然函数在上单调递增，
而，则当时，，当时，，即在上递减，在上递增，
所