人教高中数学专题3-9 利用导函数研究极值点偏移问题(解析版）.docx

专题3-9利用导函数研究极值点偏移问题
目录
专题3-9利用导函数研究极值点偏移问题 1
1
题型一：对称化构造 1
题型二：比值代换法 13
题型三：对数均值不等式法 22
29
题型一：对称化构造
【典例分析】
例题1．（2022·江苏南通·高三期中）已知，其极小值为-4.
(1)求的值；
(2)若关于的方程在上有两个不相等的实数根，，求证：.
【答案】(1)3
(2)证明见解析
【详解】（1）因为，所以.
当时，，
所以单调递增，没有极值，舍去.
当时，在区间上，，单调递增，
在区间上，，单调递减，
在区间上，，单调递增，
所以当时，的极小值为，舍去
当时，在区间上，，单调递增，
在区间上，，单调递减，
在区间上，，单调递增，
所以当时，的极小值为.
所以.
（2）由（1）知，在区间上，，单调递增，
在区间上，，单调递减，
在区间上，，单调递增，
所以不妨设.
下面先证.
即证，因为，所以，
又因为区间上，单调递减，
只要证，又因为，
只要证，只要证.
设，
则，
所以单调递增，
所以，所以.
下面证.
设，因为，
在区间上，；在区间上，.
设，，因为，
所以，所以.
设，，因为，
所以，所以.
因为，所以，
所以.
【点睛】极值点偏移问题中（极值点为），证明或的方法：
①构造，
②确定的单调性，
③结合特殊值得到或，再利用，得到与的大小关系，
④利用的单调性即可得到或.
例题2．（2022·北京市房山区良乡中学高三期中）已知函数
(1)求函数单调区间；
(2)设函数，若是函数的两个零点，
①求的取值范围；
②求证：．
【答案】(1)单调递增区间为；单调递减区间为
(2)①；②证明见解析
【详解】（1）定义域为，，
当时，；当时，；
的单调递增区间为；单调递减区间为.
（2）①若是的两个不同零点，则与在上有两个不同交点；
由（1）知：，又，
在的图象如下图所示，
由图象可知：，，即的取值范围为.
②不妨设，由①知：，
，，
在上单调递增，在上单调递减；
设，则，
在上单调递减，，，
又，，又，；
，，在上单调递增，
，则.
【点睛】方法点睛：处理极值点偏移问题中的类似于（）的问题的基本步骤如下：
①求导确定的单调性，得到的范围；
②构造函数，求导后可得恒正或恒负；
③得到与的大小关系后，将置换为；
④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论.
【提分秘籍】
主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：
(1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点．
(2)构造函数，即对结论型，构造函数或；
(3)对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式．
(4)判断单调性，即利用导数讨论的单调性．
(5)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系．
(6)转化，即利用函数的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求．
【变式演练】
1．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）已知函数
(1)若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围；
(2)设是两个不相等的实数，且．求证：
【答案】(1)
(2)证明见解析
(1)
当时，，
因为，所以，即，不符合题意；          
当时，，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．          
所以．          
由恒成立可知，所以．          
又因为，所以的取值范围为．
(2)
因为，所以，即．
令，由题意可知，存在不相等的两个实数，，使得．          
由（1）可知在区间上单调递增，在区间上单调递减．
不妨设，则．
设，          
则，
所以在上单调递增，          
所以，即在区间上恒成立．
因为，所以．          
因为，所以．          
又因为，，且在区间上单调递增，
所以，即．
2．（2022·全国·高三专题练****已知函数.
(1)求的极值.
(2)若，，证明：.
【答案】(1)极大值为，的极小值为
(2)证明见解析
(1)
（1）由题意可得.
当或时，；当时，.
所以在与上单调递增，在上单调递减.
故的极大值为，的极小值为.
(2)
证明：由（1）可知.
设，，
则
.
设，则.
因为，所以在上恒成立，