人教高中数学专题10 解三角形问题（讲）【解析版】.docx

第一篇 热点、难点突破篇
专题 10 解三角形问题（讲）
真题体验 感悟高考
1．（2022·全国·高考真题（理））已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．
【答案】##
【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.
【详解】[方法一]：余弦定理
设，
则在中，，
在中，，
所以
，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，.
故答案为：.
[方法二]：建系法
令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.
则C（2t,0），A（1，），B（-t,0）
[方法三]：余弦定理
设BD=x,CD=2x.由余弦定理得
，，
，，
令，则，
，
，
当且仅当，即时等号成立.
[方法四]：判别式法
设，则
在中，，
在中，，
所以，记，
则
由方程有解得：
即，解得：
所以，此时
所以当取最小值时，，即.
2.（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；
（2）由正弦定理得，即可求解.
【详解】（1）由题意得，则，
即，由余弦定理得，整理得，则，又，
则，，则；
（2）由正弦定理得：，则，则，.
3．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成，再结合，即可求出；
（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出．
【详解】（1）因为，即，
而，所以；
（2）由（1）知，，所以，
而，
所以，即有，所以
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
总结规律 预测考向
（一）规律与预测
1．正弦定理或余弦定理独立命题；
2．正弦定理与余弦定理综合命题；
3．与三角函数的变换结合命题；
4．考查较为灵活，题型多变，选择题、填空题的形式往往独立考查正弦定理或余弦定理，解答题往往综合考查定理在确定三角形边角中的应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换、立体几何、解析几何等结合考查.．
（二）本专题考向展示

考点突破 典例分析
考向一 正弦定理的应用
【核心知识】
正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
sin A＝，sin B＝，sin C＝等形式，以解决不同的三角形问题．
【典例分析】
典例1.（2022·西藏·日喀则市江孜高级中学高三期中）已知中，，，则B等于（    ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】已知两边一角，由正弦定理可求角B的正弦值，进而得到角B的大小.
【详解】解：，，，
由正弦定理，得，
，
，
而，则或，
故选：C.
典例2.（2021·浙江省义乌中学高三阶段练****在 中，已知，且边上的高为，则______；______．
【答案】     4    
【分析】作图，根据图像中的几何关系，求出BC，再运用正弦定理即可求解.
【详解】依题意作下图，图中 ，垂足为D，则有 ，
是等腰直角三角形，  ，
，
由正弦定理得： ，解得 ；
故答案为：①4，② .
典例3.（2019·全国高考真题（文））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，则B=___________.
【答案】.
【解析】
由正弦定理，得．，得，即，故选D．
【规律方法】
1.已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．
2.已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．
3.已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＜bsin A
a＝bsin A
bsin A＜a＜b
a≥b
a＞b
a≤b
解的个数
无解
一解
两解
一解
一解
无解
考向二