人教高中数学专题11 三角恒等与解三角形综合必刷大题100题(解析版).docx

专题11 三角恒等与解三角形综合必刷大题100题
任务一:善良模式(基础)1-40题
1．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，角A、B、C的度数成等差数列，．
（1）若，求c的值；
（2）求的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）利用等差数列以及三角形内角和，正弦定理以及余弦定理求解即可；
（2）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数，结合三角函数的最值求解即可．
【详解】
（1）由角A、B、C的度数成等差数列，得2B＝A＋C．
又，∴．
由正弦定理，得，即．
由余弦定理，得，
即，解得．
（2）由正弦定理，得，
∴，．
∴
．
由，得．
所以当时，即时，．
2．已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）当时，求的值域．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）利用两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦公式以及辅助角公式，可化简，再利用正弦型函数的周期公式，即得解；
（2）由，可得，结合正弦函数的图象和性质，即得解
【详解】
（1）由题意，
，
（2）∵
∴
∴
∴的值域为
3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求角A；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由题意及余弦定理得，由此即可求出结果；
（2）由正切公式对化简，再结合正弦定理得，再根据，可得，可得，由此即可求出结果.
【详解】
（1）由题意及余弦定理得，
所以，从而，
因为，所以.
（2）由，得，
所以由正弦定理得
又因为，
所以，
，所以
又，所以，所以.
从而是等边三角形.
因为，所以.
4．在中，，，是延长线上一点，且.
（1）求的值；
（2）求的长.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）首先利用同角三角函数的基本关系求出，根据三角形的内角和性质可得，利用诱导公式以及两角差的正弦公式即可求解.
（2）在中，利用正弦定理求出，在中，利用余弦定理即可求解.
【详解】
解：（1）由，
得，
所以
.
（2）由正弦定理，得，
即.
由余弦定理，得
.
5．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求角C的值；
（2）若，当边c取最小值时，求的面积．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）根据正弦定理，将角化为边的表达形式；结合余弦定理即可求得角C的值．
（2）由余弦定理求得与的关系，结合不等式即可求得c的最小值，即可得到的值，进而求得三角形面积．
【详解】
（1）由条件和正弦定理可得，
整理得从而由余弦定理得．
又∵C是三角形的内角，
∴．
（2）由余弦定理得，
∵，∴，
∴（当且仅当时等号成立）．
∴c的最小值为2，
故．
6．在中，角、、的对边分别为、、，已知.
（1）若，，求；
（2）若角，求角.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
(1)利用余弦定理代入化简，并代入和的值，计算可得；
(2)利用正弦定理边化角,结合,解出关于的方程，利用的范围求出的值．
【详解】
（1）由余弦定理得，
∴，即，
代入数值得，解得；
（2）∵，∴由正弦定理得，
由可得，，∴，
即，
解得或(舍去)，又∵，∴.
7．已知△ABC中，为钝角，而且，，AB边上的高为.
（1）求的大小；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）8.
【分析】
（1）利用三角形ABC的面积相等，求出的大小；
（2）由余弦定理得出，以及，可得的值．
【详解】
（1）由三角形面积可知，
，又因为是锐角，所以.
（2）由（1）可知，
所以.
又因为，
因此.
8．在中，，，分别是角，，的对边，且．
（1）若，求；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由及正弦定理可得，进一步可得，，又，由正弦定理得，代入即可得到答案；
（2）由余弦定理，得，由，可得，代入可得，再利用面积公式计算即可得到答案.
【详解】
由已知得，
根据正弦定理得，
∵∴，∴．
（1）因为，所以，
，
所以，∵，
∴，即，
∴．
（2）∵，，由余弦定理，得
，
∵，∴，∴，即，
∵，∴的面积．
9．在中，三内角，，对应的边分别是，，，，且.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若的面积是，求的周长.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）利用正弦定理的边角互化可得，再由两角和的正弦公式以及三角形的内角和性质即可求解.
（Ⅱ）利用三角形的面积公式可得，解得，再