人教高中数学专题15 圆锥曲线中的椭圆问题（解析版）.docx

专题15 圆锥曲线中的椭圆问题

1、【2022年全国甲卷】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为13，A1,A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若BA1→⋅BA2→=−1，则C的方程为（       ）
A．x218+y216=1 B．x29+y28=1 C．x23+y22=1 D．x22+y2=1
【答案】B
【解析】解：因为离心率e=ca=1−b2a2=13，解得b2a2=89，b2=89a2，
A1,A2分别为C的左右顶点，则A1(−a,0),A2(a,0)，
B为上顶点，所以B(0,b).
所以BA1=(−a,−b),BA2=(a,−b)，因为BA1⋅BA2=−1
所以−a2+b2=−1，将b2=89a2代入，解得a2=9,b2=8，
故椭圆的方程为x29+y28=1.
故选：B.
2、【2022年全国甲卷】椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP,AQ的斜率之积为14，则C的离心率为（       ）
A．32 B．22 C．12 D．13
【答案】A
【解析】解：A−a,0，
设Px1,y1，则Q−x1,y1，
则kAP=y1x1+a,kAQ=y1−x1+a，
故kAP⋅kAQ=y1x1+a⋅y1−x1+a=y12−x12+a2=14，
又x12a2+y12b2=1，则y12=b2a2−x12a2，
所以b2a2−x12a2−x12+a2=14，即b2a2=14，
所以椭圆C的离心率e=ca=1−b2a2=32.
故选：A.
3、【2022年新高考1卷】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为12．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|=6，则△ADE的周长是________________．
【答案】13
【解析】∵椭圆的离心率为e=ca=12，∴a=2c，∴b2=a2−c2=3c2，∴椭圆的方程为x24c2+y23c2=1，即3x2+4y2−12c2=0，不妨设左焦点为F1，右焦点为F2，如图所示，∵AF2=a，OF2=c，a=2c，∴∠AF2O=π3，∴△AF1F2为正三角形，∵过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，DE为线段AF2的垂直平分线，∴直线DE的斜率为33，斜率倒数为3， 直线DE的方程：x=3y−c，代入椭圆方程3x2+4y2−12c2=0，整理化简得到：13y2−63cy−9c2=0，
判别式∆=63c2+4×13×9c2=62×16×c2，
∴CD=1+32y1−y2=2×∆13=2×6×4×c13=6，
∴ c=138， 得a=2c=134，
∵DE为线段AF2的垂直平分线，根据对称性，AD=DF2，AE=EF2，∴△ADE的周长等于△F2DE的周长，利用椭圆的定义得到△F2DE周长为DF2+|EF2|+|DE|=|DF2|+|EF2|+|DF1|+|EF1|=|DF1|+|DF2|+|EF1|+|EF2|=2a+2a=4a=13.
故答案为：13.
4、【2022年新高考2卷】已知直线l与椭圆x26+y23=1在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且|MA|=|NB|,|MN|=23，则l的方程为___________．
【答案】x+2y−22=0
【解析】：令AB的中点为E，因为MA=NB，所以ME=NE，
设Ax1,y1，Bx2,y2，则x126+y123=1，x226+y223=1，
所以x126−x226+y123−y223=0，即x1−x2x1+x26+y1+y2y1−y23=0
所以y1+y2y1−y2x1−x2x1+x2=−12，即kOE⋅kAB=−12，设直线AB:y=kx+m，k<0，m>0，
令x=0得y=m，令y=0得x=−mk，即M−mk,0，N0,m，所以E−m2k,m2，
即k×m2−m2k=−12，解得k=−22或k=22（舍去），
又MN=23，即MN=m2+2m2=23，解得m=2或m=−2（舍去），
所以直线AB:y=−22x+2，即x+2y−22=0；
故答案为：x+2y−22=0
5、（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】设点，因为，，所以
，
而，所以当时，的最大值为．
故选：A．
6、（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）