人教高中数学专题22 计数原理（讲）【解析版】.docx

第一篇 热点、难点突破篇
专题22 计数原理（讲）
真题体验 感悟高考
1．（2021·全国·统考高考真题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
【答案】C
【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.
【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，
故选：C.
2.（2022·全国·统考高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（    ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】B
【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解
【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，
故选：B
3．（2022·全国·统考高考真题）的展开式中的系数为________________（用数字作答）．
【答案】-28
【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.
【详解】因为，
所以的展开式中含的项为，
的展开式中的系数为-28
故答案为：-28
总结规律 预测考向
（一）规律与预测
1.排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类分步计数原理．难度基本稳定在中等.
2.二项展开式定理的问题是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：
（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）；
（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；
（3）二项式定理的应用．
近几年，围绕二项展开式的通项公式命题，考查某一项或考查某一项的系数较多.
（二）本专题考向展示
考点突破 典例分析
考向一 排列组合
【核心知识】
1.排列数公式：这里并且
2.全排列：个不同元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列，(叫做n的阶乘).排列数公式写成阶乘的形式为，这里规定.
3.组合数的计算公式：，由于，所以.
4.组合数的性质：①；②；③.
【典例分析】
典例1.（2022秋·全国·高三校联考阶段练****将2个红球、2个白球、1个绿球放入编号分别为①②③的三个盒子中，其中，两个盒子各放1个球，另外一个盒子放3个球，这5个球除颜色外其他都一样，则不同的放法有（    ）
A．24种 B．30种 C．62种 D．41种
【答案】A
【分析】根据题意结合分类加法计数原理运算求解.
【详解】当两个盒子各放1个球的颜色相同时，则不同的放法有种；
当两个盒子各放1个球的颜色不相同时，则不同的放法有种；
综上所述：不同的放法有24种.
故选：A.
典例2. （2023春·江苏南京·高三南京市宁海中学校考阶段练****将5名学生志愿者分配到成语大赛、诗词大会、青春歌会、爱心义卖4个项目参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
【答案】C
【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.
【详解】根据题意，分2步进行分析：
①将5名大学生分为4组，有种分组方法，
②将分好的4组安排参加4个项目参加志愿活动，有种情况，
则有种分配方案；
故选：．
典例3.（2023·高三课时练****某市拟成立一个由6名中学生组成的调查小组，并准备将这6个名额分配给本市的4所实验中学，要求每所实验中学都有学生参加，那么不同的名额分配方法的种数是_________.
【答案】10
【分析】利用隔板法可求出结果.
【详解】将6个名额排成一排，6个名额之间有5个空，用3块隔板插入到这5个空中，每一种插空方法就是一种名额分配方法，共有种分配方法.
故答案为：.
典例4.（2023·高三课时练****一