人教高中数学专题23 圆锥曲线的综合问题（定值 最值 范围 ）（解析版）.docx

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专题23 圆锥曲线的综合问题（定值 最值 范围 ）
【练基础】
单选题
1．（2023·广东广州·统考一模）已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点任铀上，过点的且线交于两点，且，线段的中点为，则直线的斜率的取大值为（    ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】根据给定条件，设出抛物线C及直线PQ的方程，借助垂直关系求出抛物线方程及点M的坐标，再用斜率坐标公式建立函数，利用均值不等式求解作答.
【详解】依题意，抛物线的焦点在x轴的正半轴上，设的方程为：，
显然直线不垂直于y轴，设直线PQ的方程为：，点，
由消去x得：，则有，
由得：，解得，
于是抛物线：的焦点，弦的中点的纵坐标为，则点，
显然直线的斜率最大，必有，则直线的斜率，
当且仅当，即时取等号，
所以直线的斜率的取大值为.
故选：A
2．（2023·河南郑州·统考一模）过抛物线的焦点F作直线交抛物线于、两点，若，则的值为（    ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【分析】利用抛物线的定义结合已知计算即可．
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为
由抛物线的定义可得，
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故选：B
3．（2023·全国·高三专题练****已知，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一动点，关于直线的对称点为M，关于直线的对称点为N，当最大时，则的面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】确定，，，当M，N，P三点共线时的值最大，计算，根据余弦定理得到，计算面积即可.
【详解】由椭圆的方程可得，，连接PM，PN，
则，所以当M，N，P三点共线时的值最大，
此时，，
所以，
在中，由余弦定理可得，
即，可得，
所以，
故选：D
4．（2023·江西上饶·统考一模）双曲线C：的左，右焦点分别为，，过作垂直于x轴的直线交双曲线于A，B两点，则的内切圆半径等于（    ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】由已知求出的值，找出的坐标，即可求出，，由等面积法即可求出内切圆的半径.
【详解】由双曲线，知，
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所以，
所以，
所以过作垂直于轴的直线为，
代入中，解出，，
所以，，
设的内切圆半径为，在中，由等面积法得：
所以，
解得：.
故选：C.
5．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线C：的离心率为，，分别是C的左、右焦点，经过点且垂直于C的一条渐近线的直线l与C交于A，B两点，若的面积为64，则C的实轴长为（    ）
A．6 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【分析】由离心率得到双曲线的渐近线方程，联立方程由韦达定理得、，代入中计算可得结果.
【详解】∵，∴，即：，，
∴渐近线方程为．
由题意知，不妨设直线l的方程为，
，消去x得，则，
设，，则，，
所以，解得，即：，故双曲线C的实轴长为8.
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故选：B.
6．（2023·陕西安康·统考二模）设抛物线C：的焦点是F，直线l与抛物线C相交于A，B两点，且，过弦AB的中点P作的垂线，垂足为Q，则的最小值为（    ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【分析】设，，过点A，B分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为.由抛物线定义及梯形中位线定理可得，又由余弦定理可得，则可得，后利用基本不等式可得答案.
【详解】设，，过点A，B分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为
则，．因为点P为弦AB的中点，根据梯形中位线定理可得，P到抛物线C的准线的距离为，因为，所以在AFB中，由余弦定理得，所以，当且仅当时取等号.所以，最小值为．
故选：A．
7．（2023·辽宁阜新·校考模拟预测）若椭圆的左右焦点为、，过和点的直线交椭圆于M、N
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两点，若P（0，m）满足，则m的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】写出直线MN的方程，与椭圆方程联立，写出，解不等式.
【详解】设，，过和的直线为，
联立，消去y，得，
所以，，
则，，
，
所以，解得.
故选：D.
【点睛】方法点睛：将坐标的数量积，用坐标表示，即将直线方程与椭圆方程联立得到韦达定理式，再将其整体代入即可得到关于m的不等式.
8．（2023·内蒙古·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点作两条互相垂直的直线，且直线分别与抛物线交于和，则的最小值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，与抛物线方程联立可得韦达定理的结论，结合抛物线焦点弦长公式可求得，同理可得，从而得到