人教高中数学专题26 构造函数法解决导数问题(解析版).docx

专题26 构造函数法解决导数问题
一、多选题
1．函数在上有唯一零点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】
由，可得出，令，，利用导数得出函数在上为增函数，再令，其中，利用导数分析函数在上的单调性，可求得，可判断ACD选项的正误，再结合函数的单调性可判断B选项的正误.
【详解】
由，可得，即，
令，其中，则，
所以，函数在区间上单调递增，则，
令，其中，.
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增.
所以，.
若函数在上有唯一零点，则.
所以，，由于函数在上单调递增，
，，即，，
所以，ABC选项正确，D选项错误.
故选：ABC.
【点睛】
利用导数求解函数的零点个数问题，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程（或不等式）组求解，实现形与数的和谐统一.
2．已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数在上为增函数 B．是函数的极小值点
C．函数必有2个零点 D．
【答案】BD
【分析】
对函数求导，求出单调区间和极值，可判断选项A，B；根据极小值的大小可得函数的零点个数，判断选项C；利用在上为增函数，比较与的大小关系，判断出选项D．
【详解】
函数，则，
当时，，故在上为增函数，A错误；
当时，，故在单调递减，故是函数g(x)的极小值点，B正确；
若，则有两个零点，
若，则有一个零点，
若，则没有零点，故C错误；
在上为增函数，则，即，化简得，D正确；
故选：BD
【点睛】
本题考查导数在单调性中的应用，考查函数的极值，考查函数的零点问题，考查利用单调性比较大小，属于中档题．
3．设定义在上的函数满足，且当时，.己知存在，且为函数(为自然对数的底数)的一个零点，则实数的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】
先构造函数，判断函数的奇偶性，求函数的导数，研究函数的单调性，结合函数零点的性质建立不等式关系进行求解即可．
【详解】
解：令函数，因为，
，
为奇函数，
当时，，
在上单调递减，
在上单调递减．
存在，
得，，即，
；，
为函数的一个零点；
当时，，
函数在时单调递减，
由选项知，取，
又，
要使在时有一个零点，
只需使，
解得，
的取值范围为，
故选：．
【点睛】
本题主要考查函数与方程的应用，根据条件构造函数，研究函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，属于中档题．
4．已知函数的导函数为，若对恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】
先设，，，对函数求导，根据题中条件，分别判断设和的单调性，进而可得出结果.
【详解】
设，，，
则，.
因为对恒成立，
所以，，所以在上单调递减，在上单调递增，
则，，
即，即.
故选：BD.
【点睛】
本题主要考查导数的方法判定函数单调性，并根据单调性比较大小，属于常考题型.
5．已知函数的定义域为，导函数为，，且，则（ ）
A． B．在处取得极大值
C． D．在单调递增
【答案】ACD
【分析】
根据题意可设，根据求，再求判断单调性求极值即可.
【详解】
∵函数的定义域为，导函数为，
即满足
∵
∴
∴可设（为常数）
∴
∵，解得
∴
∴，满足
∴C正确
∵，且仅有
∴B错误，A、D正确
故选：ACD
【点睛】
本题主要考查函数的概念和性质，以及利用导数判断函数的单调性和极值点，属于中档题.
6．若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，（为自然对数的底数），则（ ）
A．在内单调递增；
B．和之间存在“隔离直线”，且的最小值为；
C．和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是；
D．和之间存在唯一的“隔离直线”.
【答案】ABD
【分析】
令，利用导数可确定单调性，得到正确；
设，的隔离直线为，根据隔离直线定义可得不等式组对任意恒成立；分别在和两种情况下讨论满足的条件，进而求得的范围，得到正确，错误；
根据隔离直线过和的公共点，可假设隔离直线为；分别讨论、和时，是否满足恒成立，从而确定，再令，利用导数可证得
恒成立，由此可确定隔离直线，则正确.
【详解】