人教专题3.6 导数与函数的极值、最值-重难点题型精练（举一反三）（新高考地区专用）（解析版）.docx

专题3.6 导数与函数的极值、最值-重难点题型精练
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022春•乐山期末）已知函数f（x）＝x+e﹣x，则函数f（x）在[﹣1，1]的最小值为（　　）
A．1 B．1+1e C．﹣1+e D．1−1e
【解题思路】利用导函数求得函数f（x）在[﹣1，1]上的单调区间，进而求得函数f（x）在[﹣1，1]的最小值．
【解答过程】解：f（x）＝x+e﹣x，x∈[﹣1，1]，则f'(x)=1−e−x=ex−1ex，x∈[﹣1，1]，
当﹣1≤x＜0时，f'(x)=ex−1ex＜0，f（x）单调递减，
当0＜x≤1时，f'(x)=ex−1ex＞0，f（x）单调递增，
则f（x）在x＝0时取得最小值f（0）＝0+e0＝1．
故选：A．
2．（5分）（2022春•巴宜区校级期末）当x＝1时，函数f(x)=alnx+bx取得最大值﹣2，则f'（2）＝（　　）
A．﹣1 B．−12 C．12 D．1
【解题思路】根据题意可知f（1）＝﹣2，f'（1）＝0即可解得a，b，再根据f'（x）即可解出．
【解答过程】解：因为函数f（x）定义域为（0，+∞），所以依题可知，f（1）＝﹣2，f'（1）＝0，
而f'(x)=ax−bx2，所以b＝﹣2，a﹣b＝0，即a＝﹣2，b＝﹣2，
所以f'(x)=−2x+2x2，
因此函数f（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，x＝1时取最大值，满足题意，
即有f'(2)=−1+12=−12．
故选：B．
3．（5分）（2022春•江北区校级期末）若函数f（x）＝x3﹣3x在区间（2a，a+3）上有最小值，则实数a的取值范围是（　　）
A．(−2，12) B．（﹣2，1） C．[−1，12) D．（﹣2，﹣1]
【解题思路】由导数性质得f（x）的增区间是（﹣∞，﹣1），（1，+∞），减区间是（﹣1，1），x＝1
时，f（x）min＝﹣2．由此利用函数性质列不等式即可求解a的范围．
【解答过程】解：∵f（x）＝x3﹣3x，∴f′（x）＝3x2﹣3，
由f′（x）＝0，得x＝±1，
x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＞0；x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0；x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）的增区间是（﹣∞，﹣1），（1，+∞），减区间是（﹣1，1），
∴x＝1时，f（x）min＝﹣2．
f（x）＝x3﹣3x＝﹣2时，
x3﹣3x+2＝0，x3﹣x﹣2x+2＝0，
x（x2﹣1）﹣2x+2＝0，
x（x+1）（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，
（x2+x）（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（x2+x﹣2）＝0，
（x﹣1）（x+2）（x﹣1）＝0，
（x﹣1）2（x+2）＝0，
解得x＝1，x＝﹣2，
∴﹣2≤2a＜1＜a+3，∴﹣1≤a＜12．
即实数a的取值范围是[﹣1，12），
故选：C．
4．（5分）（2022春•北流市校级月考）函数y＝f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．函数y＝f（x）在（﹣∞，0）上单调递增
B．函数y＝f（x）的递减区间为（3，5）
C．函数y＝f（x）在x＝3处取得极大值
D．函数y＝f（x）在x＝4处取得极小值
【解题思路】根据函数单调性与导数之间的关系及极值的定义结合图像即可得出答案．
【解答过程】解：根据函数y＝f（x）的导函数f′（x）的图象可得，
当x＜﹣1，3＜x＜5时，f′（x）＜0，故函数f（x）在（﹣∞，﹣1）和（3，5）上递减，
当﹣1＜x＜3，x＞5时，f′（x）＞0，故函数f（x）在（﹣1，3）和（5，+∞）上递增，
所以函数f（x）在x＝﹣1和x＝5处取得极小值，在x＝3处取得极大值，
故ABD错误，C正确．
故选：C．
5．（5分）（2022•全国）设x1和x2是函数f（x）＝x3+2ax2+x+1的两个极值点．若x2﹣x1＝2，则a2＝（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解题思路】先求出f′（x）＝3x2+4ax+1，又x1和x2是函数f（x）＝x3+2ax2+x+1的两个极值点，则x1和x2是方程3x2+4ax+1＝0的两根，再利用韦达定理可解．
【解答过程】解：∵函数f（x）＝x3+2ax2+x+1，
∴f′（x）＝3x2+4ax+1，
又x1和x2是函数f（x）＝x3+2ax2+x+1的两个极值点，
则x1和x2是方程3x2+4ax+1＝0的两根，
故x1+x2=−4a3，x1•x2=13，
又x2﹣x1＝2，
则(x1−x2)2=(x1+x2)2