人教专题04 立体几何-【大题精做】冲刺2023年高考数学大题突破+限时集训（解析版）.docx

专题04 立体几何
立体几何一般作为全国卷第20题21题.重点题型主要是
1 体积问题及表面积问题
2 线面距离及线面角问题
3 二面角问题
4 空间几何综合问题
题型一：体积及表面积问题
1．在如图所示的多面体ABCDE中，平面ABC，，，，．
(1)证明：平面平面BDE；
(2)求多面体ABCDE的体积．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）证明：设AB，BE的中点分别为F，G，连接CF，FG，DG，则，且，
又，且，所以，且，
所以四边形CFGD为平行四边形，所以．
因为平面ABC，平面ABC，所以，所以，
因为，F为AB的中点，所以，所以，
又AB，平面ABE，且，所以平面ABE，
又平面BDE，所以平面平面BDE．
（2）由（1）得，，且AB，平面ABE，，所以平面ABE，
又因为，，F为AB的中点，所以．
因为，平面ABE，平面ABE，所以平面ABE，
所以点D到平面ABE的距离等于点C到平面ABE的距离．
因为平面ABC，AC，平面ABC，所以，，
又，所以，，又AC，平面ABC，且，所以平面ABC，
连接AD，多面体ABCDE的体积V等于三棱锥的体积与三棱锥的体积之和，
而，，
所以多面体ABCDE的体积．
1．如图①，在平面四边形中，，，．将沿着折叠，使得点到达点的位置，且二面角为直二面角，如图②．已知分别是的中点，是棱上的点，且与平面所成角的正切值为．
(1)证明：平面平面；
(2)求四棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）分别为的中点，，，
平面，平面，
平面，平面，又，平面，平面平面.
（2）取的中点，连接，
，，为等边三角形，，
又，，为等腰直角三角形，
，；
二面角是直二面角，即平面平面，平面平面，平面，平面，
即为与平面所成角，
，解得：；
在中，由余弦定理得：，
即，解得：，为线段上靠近点的四等分点，
，
.
题型二：线面距离及线面角问题
．如图，在多面体中，已知，，均为等边三角形，平面平面ABC，平面平面ABC，H为AB的中点．
(1)判断DE与平面ABC的位置关系，并加以证明；
(2)求直线DH与平面ACE所成角的正弦值．
【答案】(1)平面，证明见解析；(2)
【详解】（1）平面，理由如下：分别取的中点，连接，
因为，所以，又平面平面，平面平面，
平面，所以平面，同理平面，所以，
又因为是全等的正三角形，所以，
所以四边形是平行四边形，
所以，因为平面，平面，所以平面；
（2）连接，则易知平面，以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，令.
则，
所以，
设平面的法向量为，
所以，所以
则，取，，则，
所以，
设直线与平面所成的角为，则．
1 如图，垂直于梯形所在平面，，为的中点，，，四边形为矩形.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的大小；
(3)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析(2)(3)
【详解】（1）设，连接，
四边形为矩形，为中点，又为中点，，
又平面，平面，平面.
（2）以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
设平面的法向量，
，令，解得：，，；
轴平面，平面的一个法向量，
，则平面与平面的夹角为.
（3）由（2）知：，，，
由平面的法向量，
点到平面的距离.
题型三： 二面角问题
1 如图，四棱锥P-ABCD中，已知，BC=2AD，AD=DC，∠BCD=60°，CD⊥PD，PB⊥BD．
(1)证明：PB⊥AB；
(2)设E是PC的中点，直线AE与平面ABCD所成角等于45°，求二面角B-PC-D的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）连结BD，在中，因为BC=2DC，∠BCD=60°，
由余弦定理．
因为，所以CD⊥BD，又CD⊥PD，，平面，
所以CD⊥平面PDB，由于平面，所以CD⊥PB．
因为PB⊥BD，，平面，
所以PB⊥平面ABCD，由于平面，因此PB⊥AB．
（2）解法1：以B为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长度，
建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，由（1）可知y轴在平面ABCD内．
则，，，，．
设，则，，．
因为平面ABCD的法向量为，所以．
由AE与平面ABCD所成角等于45°，可知，解得t=2．
设平面DPC的法向量，则即
所以可取．因为平面BP