人教专题4.3 同角三角函数的基本关系及诱导公式-重难点题型精讲（举一反三）（新高考地区专用）（解析版）.docx

专题4.3 同角三角函数的基本关系及诱导公式-重难点题型精讲
1．同角三角函数的基本关系
(1)同角三角函数的基本关系
(2)基本关系式的变形公式
2．诱导公式
(1)诱导公式

(2)诱导公式的作用
【题型1 同角三角函数基本关系式的应用】
【方法点拨】
第一步：由已知三角函数的符号，确定其角终边所在的象限；
第二步：依据角的终边所在象限进行分类讨论；
第三步：利用同角三角函数的基本关系式及其变形公式，求出其余三角函数值.
【例1】（2021秋•仁怀市校级月考）已知sinα=−45，且α是第三象限的角，则tanα的值等于（　　）
A．−43 B．−34 C．34 D．43
【解题思路】根据正余弦的同角关系求出cosα，进而可以求解．
【解答过程】解：因为sinα=−45，且α是第三象限的角，
所以cosα=−1−sin2α=−35，
则tanα=sinαcosα=−45−35=43，
故选：D．
【变式1-1】（2022春•揭阳期末）已知tanθ=12，则sin3θ+sinθcos3θ+sinθcos2θ=（　　）
A．12 B．2 C．16 D．6
【解题思路】对所给的代数式进行化简，即可解出．
【解答过程】解：∵tanθ=12，∴1+sinθ≠0，
∴sin3θ+sinθcos3θ+sinθcos2θ
=sin3θ+sinθ(sin2θ+cos2θ)cos3θ+sinθcos2θ
=2tan3θ+tanθ1+tanθ
=2×(12)3+121+12=12．
故选：A．
【变式1-2】（2022春•温州期末）已知sinα+cosα=233，且α∈(π4，π2)，则cosα﹣sinα＝（　　）
A．−33 B．33 C．63 D．−63
【解题思路】把已知等式两边平方可得2sinαcosα，再由cosα﹣sinα=−(cosα−sinα)2，展开完全平方式求解．
【解答过程】解：由sinα+cosα=233，得1+2sinαcosα=43，
则2sinαcosα=13，
∵α∈(π4，π2)，∴sinα＞cosα，
则cosα﹣sinα=−(cosα−sinα)2=−1−2sinαcosα=−1−13=−63．
故选：D．
【变式1-3】（2022春•凯里市校级期中）若θ∈(π2，π)，且满足6tanθ−tanθ=1，则sinθ+cosθ＝（　　）
A．105 B．55 C．−55 D．−105
【解题思路】由已知可得tanθ＝﹣3，进而可求得sinθ=31010，cosθ=−1010，可求sinθ+cosθ．
【解答过程】解：由6tanθ−tanθ=1，
得（tanθ﹣2）（tanθ+3）＝0，
∴tanθ＝﹣3或tanθ＝2（舍去），
∵θ∈(π2，π)，tanθ＜0，
由tanθ=sinθcosθsin2θ+cos2θ=1，及sinθ＞0，
得sinθ=31010，
∴cosθ=sinθtanθ=−1010，sinθ+cosθ=105．
故选：A．
【题型2 诱导公式的应用】
【方法点拨】
(1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.