人教专题4.5 三角恒等变换-重难点题型精讲（举一反三）（新高考地区专用）（解析版）.docx

专题4.5 三角恒等变换-重难点题型精讲
1．两角差的余弦公式
对于任意角，有.
此公式给出了任意角,的正弦、余弦与其差角-的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作
.
公式巧记为：两角差的余弦值等于两角的同名三角函数值乘积的和.
2．两角和的余弦公式
(1)公式的结构特征
(2)两角和与差的余弦公式的记忆技巧
两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”.
①“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；
②“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和时用“-”，两角差时用“+”.
3．两角和与差的正弦公式
(1)两角和与差的正弦公式的结构特征
(2)两角和与差的正弦公式的记忆技巧
两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”.
①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；
②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“+”,两角差时用“-”.
4．两角和与差的正切公式
两角和与差的正切公式的结构特征
符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.
5．三角恒等变换思想——角的代换、常值代换、辅助角公式
(1)角的代换
代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用
尤为突出.
常用的角的代换形式：
①=(+)-；
②=-(-)；
③=[(+)+(-)]；
④= [(+)-(-)]；
⑤=(-)-(-)；
⑥-=(-)+(-).
(2)常值代换
用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其
中要特别注意的是“1”的代换.
(3)辅助角公式
通过应用公式[或将形如
(a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数 [或].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个
三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式.
6．二倍角公式
二倍角的正弦、余弦、正切公式
【题型1 两角和与差的三角函数公式的应用】
【方法点拨】
(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.
【例1】（2022春•巴宜区校级期末）已知sinα=45，α∈(π2，π)，cosβ=−513，β是第三象限角，则cos（α﹣β）＝（　　）
A．−3365 B．3365 C．6365 D．−6365
【解题思路】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，sinβ的值，进而利用两角差的余弦公式即可计算得解cos（α﹣β）的值．
【解答过程】解：因为sinα=45，α∈(π2，π)，cosβ=−513，β是第三象限角，
所以cosα=−1−sin2α=−35，sinβ=−1−cos2β=−1213，
则cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝（−35）×（−513）+45×（−1213）=−3365．
故选：A．
【变式1-1】（2022春•富平县期末）化简tan(π4+A)−tan(π4−A)=（　　）
A．2tanA B．﹣2tanA C．2tan2A D．﹣2tan2A
【解题思路】由条件利用两角差的正切公式、诱导公式证得结论．
【解答过程】解：tan(π4+A)−tan(π4−A)
＝tan[（π4+A）﹣（π4−A）]•[1+tan（π4+A）tan（π4−A）]
＝tan2A•[1+tan（π4+A）cot（π4+A）]
＝tan2A×2
＝2tan2A．
故选：C．
【变式1-2】（2022•香坊区校级模拟）已知tanα=−3tanπ12，则sin(α−π12)cos(α−512π)的值为（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【解题思路】根据诱导公式cos（α−5π12）＝sin（α+π12），再利用两角和与差的三角函数公式化简即可．
【解答过程】解：∵cos（α−5π12）＝sin（α+π12），tanα=−3tanπ12，
则sin(α−π12)cos(α−512π)=sin(α−π12)sin(α+π12)=sinαcosπ12−cosαsinπ12sinαcosπ12+cosαsinπ12=tanα−tanπ12tanα+tanπ12=−4tanπ12−2tanπ12=2．
故选：C．
【变式1-3】（2022春•汉中期末）已知sinθ+sin(θ+π3)=1，则