人教专题4.12 正弦定理和余弦定理-重难点题型精练（举一反三）（新高考地区专用）（解析版）.docx

专题4.12正弦定理和余弦定理-重难点题型精练
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022·河南·高三阶段练****文））在△ABC中，A=60°，BC=3，则△ABC外接圆的半径为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．2
【解题思路】利用正弦定理运算求解.
【解答过程】由正弦定理asinA=332=2R，则R=1，
故△ABC外接圆的半径为1.
故选：A.
2．（5分）（2022·黑龙江·高三阶段练****在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，则下列条件能确定三角形有两解的是（    ）
A．a=5,b=4,A=π6
B．a=4,b=5,A=π4
C．a=5,b=4,A=5π6
D．a=4,b=5,A=π3
【解题思路】结合已知条件和正弦定理即可求解.
【解答过程】对于A：由正弦定理可知，asinA=bsinB⇒sinB=25
∵a>b，∴B<A=π6，故三角形△ABC有一解；
对于B：由正弦定理可知，asinA=bsinB⇒sinB=528，
∵b>a，∴B>A=π4，故三角形△ABC有两解；
对于C：由正弦定理可知，asinA=bsinB⇒sinB=25
∵A为钝角，∴B一定为锐角，故三角形△ABC有一解；
对于D：由正弦定理可知，asinA=bsinB⇒sinB=538>1，故故三角形△ABC无解.
故选：B.
3．（5分）（2022·贵州遵义·高三期中（理））已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=π3,a=3，则bc的取值范围为（    ）
A．(2,3] B．(1,4] C．(1,3] D．(2,4]
【解题思路】根据正弦定理利用角B表示bc，利用三角变换及三角函数的性质可求bc的取值范围.
【解答过程】因为A=π3，a=3，故三角形外接圆直径为asinA=3sinπ3=2，
所以bsinB=csinC=2，所以b=2sinB，c=2sinC，
故bc=2sinB⋅2sinC=4sinBsinC
=4sinBsin2π3−B
=4×sinBsin2π3cosB−cos2π3sinB
=23sinBcosB+2sin2B
=3sin2B+2×1−cos2B2=3sin2B−cos2B+1
=2sin2B−π6+1，
因为三角形为锐角三角形，故0<B<π20<2π3−B<π2，故π6<B<π2，
故π6<2B−π6<5π6，故12<sin2B+π6≤1，
所以2<2sin2B+π6+1≤3
故bc的取值范围为2,3，
故选：A.
4．（5分）（2022·安徽亳州·高一期末）黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形．其中顶角为36°的等腰三角形的底与腰之比为5−12，这种黄金三角形被认为是最美的三角形．根据这些信息，则cos36°=（    ）
A．5−14 B．5+14 C．3+58 D．3−58
【解题思路】由已知条件，根据余弦定理求解即可.
【解答过程】在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BCAB=5−12．
设AB=2x，BC=5−1x，
则cos36°=2x2+2x2−5−1x22⋅2x⋅2x=4x2+4x2−6−25x28x2=5+14．
故选：B.
5．（5分）（2022·河南驻马店·高三阶段练****理））钝角△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a=3，b=2c，且9sinB−2sinC=215，则△ABC的周长为（    ）
A．9 B．152 C．6 D．232
【解题思路】由题知sinB=2sinC，进而结合题意得sinC=158，cosC=78，再根据余弦定理解方程即可得答案.
【解答过程】解：因为b=2c，
所以sinB=2sinC，b>c
又因为9sinB−2sinC=215，
所以sinC=158，C为锐角，
所以，cosC=78，
因为由余弦定理得c2=4c2+9−2×3×2c×78，解得c=2或c=32，
因为当c=32时，b=2c=a=3，此时△ABC一定不是钝角，故舍去.
所以c=2，
所以△ABC的周长为2+4+3=9．
故选：A.
6．（5分）（2022·重庆高三阶段练****李子坝站的“单轨穿楼”是重庆轨道交通的一大特色，吸引众多游客来此打卡拍照.如图所示，李明为了测量李子坝站站台距离地面的高度AB，采用了如下方法：在观景台的D点处测得站台A点处的仰角为60°；沿直线BD后退12米后，在F点处测得站台A点处的仰角为45°.已知李明的眼睛距离地面高度为CD=EF=1.6米，则李子坝站站