人教专题06 导数 6.5利用导数研究不等式恒成立 题型归纳讲义-2022届数学一轮复习（解析版）.docx

专题六 《导数》讲义
6.5 利用导数研究不等式恒成立
知识梳理.利用导数研究不等式恒成立
1.恒成立问题: 一般地，若a>f(x)对x∈D恒成立，则只需a>f(x)max；
若a<f(x)对x∈D恒成立，则只需a<f(x)min.
2.存在性问题：若存在x0∈D，使a>f(x0)成立，则只需a>f(x)min；
若存在x0∈D，使a<f(x0)成立，则只需a<f(x0)max.由此构造不等式，求解参数的取值范围．
题型一. 参变分离
1．已知函数f（x）＝ax﹣lnx，若f（x）＞1在区间（1，+∞）内恒成立，则实数a的范围为　a≥1　．
【解答】解：∵f（x）＝ax﹣lnx，
∴f（x）＞1即ax﹣lnx＞1，得ax＞lnx+1
∵x＞1，∴原不等式转化为a＞lnx+1x
设F（x）=lnx+1x，得F'（x）=−lnxx2
∵当0＜x＜1时，F'（x）＞0；当x＞1时，F'（x）＜0
∴F（x）在区间（0，1）上为增函数；在区间（1，+∞）上为减函数
可得F（x）在（0，+∞）的极大值为F（1），也是函数在（0，+∞）的最大值
∵a＞lnx+1x在区间（1，+∞）内恒成立，
∴a≥F（1），即a≥1，可得实数a的范围为[1，+∞）
故答案为：[1，+∞）
2．已知函数f（x）=exx−mx（e为自然对数的底数），若f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，e24） C．（﹣∞，e） D．（e24，+∞）
【解答】解：若f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
则m＜exx2在（0，+∞）恒成立，
令h（x）=exx2，（x＞0），
h′（x）=ex(x−2)x3，
令h′（x）＞0，解得：x＞2，
令h′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
故h（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，
故h（x）min＝h（2）=e24，
故m＜e24，
故选：B．
题型二. 转化成两个函数
1．已知函数f(x)=x+sinx−2ln(x2+1−x)+1，若f（ax﹣ex+1）＞1在x∈（0，+∞）上有解，则实数a的取值范围为（　　）
A．（1，+∞） B．（﹣∞，1） C．（e，+∞） D．（1，e）
【解答】解：根据题意，函数f(x)=x+sinx−2ln(x2+1−x)+1=x+sinx+2ln（x2+1+x），
函数y＝x+sinx，其导数y′＝1+cosx≥0，在R上为增函数，
函数y＝2ln（x2+1+x），在R上为增函数，
则函数f(x)=x+sinx−2ln(x2+1−x)+1在R上为增函数；
又由f（0）＝1，即f（ax﹣ex+1）＞f（0）在x∈（0，+∞）上有解，即存在x∈（0，+∞）使得，ax﹣ex+1＞0有解，
进而可得存在x∈（0，+∞）使得，ax＞ex﹣1有解，
在同一坐标系里画出函数y1＝ax与函数y2＝ex﹣1的图象；
对于y2＝ex﹣1，其导数y2′＝ex，当x∈（0，+∞）时，曲线y2＝ex﹣1的切线的斜率k＝ex＞1；
要满足存在x∈（0，+∞）使得，ax＞ex﹣1有解，则直线y1＝ax的斜率a＞1；
故实数a的取值范围为（1，+∞）；
故选：A．
2．已知函数f（x）＝x+xlnx，若k∈Z，且k（x﹣1）＜f（x）对任意的x＞1恒成立，则k的最大值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：由k（x﹣1）＜f（x）对任意的x＞1恒成立，
得：k＜xlnx+xx−1，（x＞1），
令h（x）=xlnx+xx−1，（x＞1），则h′（x）=x−lnx−2(x−1)2，
令g（x）＝x﹣lnx﹣2＝0，得：x﹣2＝lnx，
画出函数y＝x﹣2，y＝lnx的图象，如图示：
又g（3）＝1﹣ln3＜0，g（4）＝2﹣ln4＝2（1﹣ln2）＞0，
∴零点属于（3，4）；
∴g（x）存在唯一的零点设为x0，
∴h（x）在（1，x0）递减，在（x0，+∞）递增，
而3＜h（3）=3ln3+32＜4，e5＜35＜44，
所以3＜ln44+45，所以3＜h（4）=4ln4+43＜4，
∴h（x0）＜4，k∈Z，
∴k的最大值是3．
（或x0满足x0﹣lnx0﹣2＝0且x0∈（3，4），
∴h（x）min＝h（x0）=x0(1+lnx0)x0−1=x0(1+x0−2)x0−1=x0∈（3，4），
∴k＜h（x）min＝h（x0），∴k的最大值是3）．
故选：B．
题型三. 讨论参数
1．不等式ex≥kx对任意实数x恒成立，则实数k的最大值为（　　）
A