人教专题10 数列 10.3数列求通项 题型归纳讲义-2022届数学一轮复习（解析版）.docx

专题十 《数列》讲义
10.3 数列求通项
知识梳理.数列求通项
1.利用与的关系求通项公式；
2.累加法：若已知且的形式；
3.累乘法：若已知且的形式；
4.构造法：若已知且的形式 （其中p，q均为常数）；
题型一. 利用Sn与an的关系
考点1.已知Sn与an的关系求an
1．已知数列{an}为等差数列，且a3＝5，a5＝9，数列{bn}的前n项和Sn=23bn+13．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
【解答】解：（Ⅰ）数列{an}为等差数列，∴d=12（a5﹣a3）＝2，
又∵a3＝5，
∴a1＝1，
∴an＝2n﹣1，
当n＝1时，S1=23b1+13，
∴b1＝1，
当n≥2时，bn＝Sn﹣Sn﹣1=23bn−23bn﹣1，
∴bn＝﹣2bn﹣1，
即数列{bn}是首项为1，公比为﹣2的等比数列，
∴bn＝（﹣2）n﹣1，

2．已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=3(an−1)(n∈N∗)．
（1）求数列{an}的通项公式；
【解答】解：（1）当n＝1时，2S1＝3（a1﹣1）＝2a1，得a1＝3，
当n≥2时，2Sn＝3（an﹣1），2Sn﹣1＝3（an﹣1﹣1），
两式作差可得2 an＝3an﹣3an﹣1，即an＝3an﹣1，
所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以an＝3n；
3．记Sn为数列{an}的前n项和，已知an＜0，an2﹣3an＝4﹣6Sn．
（1）求数列{an}的通项公式；
【解答】解：（1）当n＝1时，a12−3a1=4−6S1，
所以a1＝﹣4或a1＝1（舍）当n≥2时，因为an2−3an=4−6Sn，
所以an−12−3an−1=4−6Sn−1，
两式相减得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1+3）＝0，
因为an＜0，所以an﹣an﹣1＝﹣3，
所以数列{an}是以﹣4为首项﹣3为公差的等差数列，
所以an＝﹣4+（n﹣1）⋅（﹣3）＝﹣3n﹣1．

考点2.带省略号
1．设数列{an}满足a1+3a2+⋯+(2n−1)an=2n(n∈N∗)．
（Ⅰ）求a1，a2及{an}的通项公式；
【解答】解：（Ⅰ）∵a1+3a2+…+（2n﹣1）an＝2n，
当n＝1时，a1＝2，
当n＝2时，a1+3a2＝4，
∴a2=23，
∵a1+3a2+…+（2n﹣1）an＝2n，①，
∴n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）an﹣1＝2（n﹣1），②
①﹣②得：（2n﹣1）•an＝2，
∴an=22n−1，
又n＝1时，a1＝2满足上式，
∴an=22n−1；
2．已知数列{an}，an＝2n+1，则1a2−a1+1a3−a2+⋯+1an+1−an=（　　）
A．1+12n B．1﹣2n C．1−12n D．1+2n
【解答】解：an+1﹣an＝2n+1+1﹣（2n+1）＝2n
∴1an+1−an=12n
∴1a2−a1+1a3−a2+⋯+1an+1−an=12+122+⋯+12n=1−12n
故选：C．
题型二. 累加法
1．已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝an+n+1．
（1）求{an}的通项公式；