人教专题11 立体几何 11.1空间几何体 题型归纳讲义-2022届数学一轮复习（解析版）.docx

专题十一 《立体几何》讲义
11.1 空间几何体
知识梳理.空间几何体
1．直观图
(1)画法：常用斜二测画法．
(2)规则：
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．

名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面
互相平行且相等
多边形
互相平行且相似
侧棱
互相平行且相等
相交于一点，但不一定相等
延长线交于一点
侧面形状
平行四边形
三角形
梯形
(2)旋转体的结构特征
名称
圆柱
圆锥
圆台
球▲
图形
母线
互相平行且相等，垂直于底面
长度相等且相交于一点
延长线交于一点
轴截面
全等的矩形
全等的等腰三角形
全等的等腰梯形
圆
侧面展开图
矩形
扇形
扇环
4．空间几何体的表面积与体积公式
名称
几何体　　
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝Sh
台体(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝(S上＋S下＋)h
球
S＝4πR2
V＝πR3
题型一. 正方体的展开与折叠问题
1．如图代表未折叠正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：将其折叠起来，变成正方体后的图形中，相邻的平面中三条线段是平行线，排除A，C；相邻平面只有两个是空白面，排除D；
故选：B．
2．如图是表示一个正方体表面的一种平面展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中不相交的线段的对数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：平面展开图还原成正方体：
G点与C点重合，
B点与F重合．
观察正方体中的线段不难发现：
GH与EF，GH与AF，CD与AF，CD与EF均不相交．
∴在正方体中不相交的线段有4对．
故选：C．
3．如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（　　）
A．AE∥CD B．CH∥BE C．DG⊥BH D．BG⊥DE
【解答】解：还原正方体直观图如图，可知AE与CD为异面直线，故选项A不正确；
由EH∥=BC，可得CH∥BE，故选项B正确；
正方形中易得DG⊥平面BCH，所以有DG⊥BH，故选项C正确；
因为BG∥AH，且DE⊥AH，所以BG⊥DE，故选项D正确．
故选：BCD．
题型二. 多面体表面最短距离问题
1．如图，正三棱锥S﹣ABC中，∠BSC＝40°，SB＝2，一质点自点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（　　）
A．2 B．3 C．23 D．33
【解答】解：将三棱锥S﹣ABC沿侧棱SB展开，
其侧面展开图如图所示，由图中红色路线可得结论．
根据余弦定理得，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为：
4+4+2×2×2×12=23
故选：C．
2．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为1cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为（　　）cm．
A．12 B．13 C．61 D．15
【解答】解：如图所示，
把侧面展开两周可得对角线最短：AA1=62+52=61cm．
故选：C．
3．如图所示，已知在圆锥SO中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA上的一个点，且SM＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A，求绳子最短时，顶点到绳子的最短距离
　4xx2+16　（用x表示）．
【解答】解：∵底面半径r＝1，母线长l＝4，
∴侧面展开扇形的圆心角α＝90°
因此，将圆锥侧面展开成一个扇形，从点M拉一绳子围绕圆锥侧面转到点A，最短距离为Rt△ASM中，斜边AM的长度
∵SM＝x，SA＝4
∴绳子的最短长度的平方f（x）＝AM2＝x2+42＝x2+16．
绳子最短时，定点S到绳子的最短距离等于Rt△ASM的斜边上的高，设这个距离等于d，
则d=SM⋅ASAM=4xx2+16，
故答案为4xx2+16．
题型三. 截面问题
1．如图，若Ω是长方体ABCD﹣A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为