人教高中数学专题1.1 集合-重难点题型精讲（举一反三）（新高考地区专用）（解析版）.docx

专题1.1 集合-重难点题型精讲
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
2．集合的基本关系
(1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B；
(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A⫋B；
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B；
(4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
表示
运算
文字语言
集合语言
图形语言
记法
交集
属于A且属于B的所有元素组成的集合
{x|x∈A，且x∈B}
A∩B
并集
属于A或属于B的元素组成的集合
{x|x∈A，或x∈B}
A∪B
补集
全集U中不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于集合U的补集
{x|x∈U，x∉A}
∁UA
【注意】
1．若一个集合A有n个元素，则集合A有几个子集，几个真子集．
提示　2n，2n－1.
2．从A∩B＝A，A∪B＝A中可以分别得到集合A，B有什么关系？
提示　A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.
【题型1 求集合中元素的个数】
【方法点拨】
①确定集合中的元素是什么，是数、点还是其他；
②看这些元素满足什么限制条件；
③根据条件确定集合中的元素个数或利用数形结合思想求解，但要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
【例1】（2020秋•顺德区期中）已知集合M的非空子集的个数是7，则集合M中的元素的个数是（　　）
A．3 B．4 C．2 D．5
【解题思路】若集合M中有n个元素，则集合M的非空子集的个数是2n﹣1．
【解答过程】解：设集合M中有n个元素，
∵集合M的非空子集的个数是7，
∴2n﹣1＝7，解得n＝3，
∴集合M中元素的个数是3．
故选：A．
【变式1-1】（2021•荆州一模）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3，x∈N}，B＝{C|C⊆A}，则集合B中元素的个数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【解题思路】先根据题意解出集合A，再根据题意分析B中元素为A中的子集，可求出．
【解答过程】解：因为集合A＝{x|﹣1＜x＜3，x∈N}，
所以A＝{0，1，2}，
因为B＝{C|C⊆A}，
所以B中的元素为A的子集个数，即B有23＝8个，
故选：C．
【变式1-2】（2021春•保定期末）已知集合A＝{x|x＝3n+2，n∈N}，B＝{6，8，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【解题思路】根据集合的基本运算进行求解．
【解答过程】解：A＝{x|x＝3n+2，n∈N}＝{2，5，8，11，14，17，…}，
则A∩B＝{8，14}，
故集合A∩B中元素的个数为2个．
故选：D．
【变式1-3】（2021秋•荆州校级月考）已知集合A＝{0，1，2，3}，集合B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x≠y，x+y∈A}，则B中所含元素的个数为（　　）
A．3 B．6 C．8 D．10
【解题思路】通过x的取值，确定y的取值，推出B中所含元素的个数．
【解答过程】解：当x＝0时，y＝1，2，3；满足集合B．
当x＝1时，y＝0，2；满足集合B．
当x＝2时，y＝0，1；满足集合B．
当x＝3时，y＝0．满足集合B．
共有8个元素．
故选：C．
【题型2 子集个数的求解】
【方法点拨】
①穷举法：将集合的子集一一列举出来，从而得到子集的个数，适用于集合中元素个数较少的情况；
②公式法：含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集的个数是2n-1，非空真子集的个数是2n-2.
【例2】（2022春•兖州区期中）设集合A＝{1，2，3，4，5，6}，则在集合A的子集中，有2个元素的子集个数为（　　）
A．A62 B．C62 C．62 D．26
【解题思路】有2个元素，相当于从6个数中随机抽取2个．
【解答过程】解：从6个数中随机选取2个，即为C62，
故选：B．
【变式2-1】（2022•齐齐哈尔二模）设集合M＝{x∈Z||2﹣x|＜2}，则集合M的真子集个数为（　　）
A．16 B．15 C．8 D．7
【解题思路】化简集合M，利用公式求真子集个数即可．
【解答过程】解：M＝{x∈Z||2﹣x|＜2}＝{1，2，3}，
故集合M的真子集个数为23﹣1＝7，
故选：D．
【变式