人教高中数学专题11 导数在不等式.恒等式和零点问题综合应用（解析版）.docx

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专题11 导数在不等式.恒等式和零点问题综合应用
【练基础】
一、单选题
1．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用，可判断，再利用，即可得到答案.
【详解】
，则，故函数在单调递减，单调递增，则
则，即
由，∴，故
同理可证
又，∴，则
故选：C.
2．（2023·江西·校联考一模）已知关于的不等式对任意恒成立，则的最大值为（    ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】讨论的取值范围，利用函数图象，结合导数求出，构造函数，利用导数求出函数的最值，进而得解．
【详解】解：关于的不等式对任意恒成立，
设，，
若，对任意恒成立，则，对任意恒成立，
当时，在同一坐标系中作出函数，的图象，
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显然，由图可知，对任意不恒成立；
当时，在同一坐标系中作出函数，的图象，
显然，由图可知，对任意不恒成立；
当时，在同一坐标系中作出函数，的图象，
由图可知，临界条件是直线与曲线的图象相切时，
由，求导，设，解得，且，
当的切线斜率为2时，切点坐标为，
故，所以，
即，
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所以，令，
求导，
令，得，即，
当，函数单调递增，
当，函数单调递减，
所以当，函数取到最大值，且.
故的最大值为．
故选：D．
【点睛】本题考查了函数的恒成立问题与导数的关系，属于难题．解决本问题的关键为讨论的取值范围，利用函数图象，当时，不等式恒成立转化为切线问题，设切点坐标，根据导数的几何意义可得，构造函数，利用导数求出函数的最值，进而得解．
3．（2022秋·甘肃武威·高三校考阶段练****函数的图像大致是（   ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用函数的零点，极值点，单调性即可解决.
【详解】解：由得或，故BD错；
又，
所以，当或时，；当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
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所以，在处取得极大值，在处取得极小值，故A错.
故选：C
4．（2022秋·山东东营·高三广饶一中校考阶段练****设，若函数有且只有三个零点，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数与，先利用导数研究得的性质，再利用二次函数的性质研究得的性质，从而作出的图像，由此得到，分类讨论与时的零点情况，据此得解.
【详解】令，则，
令，得；令，得；
所以在上单调递减，在上单调递增，故，
又因为对于任意，在总存在，使得，
在上由于的增长速率比的增长速率要快得多，所以总存在，使得，
所以在与上都趋于无穷大；
令，则开口向下，对称轴为，
所以在上单调递增，在上单调递增，故，
.
因为函数有且只有三个零点，
而已经有唯一零点，所以必须有两个零点，则，即，解得或，
当时，，则，
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即在处取不到零点，故至多只有两个零点，不满足题意，
当时，，则，所以在处取得零点，
结合图像又知与必有两个交点，故在与必有两个零点，
所以有且只有三个零点，满足题意；
综上：，即.
故选：C.
5．（2022·江苏南京·模拟预测）已知函数（），且在有两个零点，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用零点的意义等价转化，构造函数，再借助导数探讨函数在有两个零点作答.
【详解】，，由得，，则，令，
依题意，函数在有两个零点，显然，而在上单调递增，
则有，当或，即或时，在上单调递增或单调递减，
即有函数在只有一个零点1，因此，此时当时，，当时，，
函数在上单调递减，在单调递增，则，
要函数在有两个零点，当且仅当在上有一个零点，即有，解得，
所以的取值范围.
故选：C
6．（2022秋·湖南岳阳·高三校考阶段练****已知函数，若方程恰好有三个不等的实数根，则实数k的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
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【答案】D
【分析】将问题转化为与的图象有三个交点的问题，利用导数判断的单调性，数形结合，即可求得结果.
【详解】当时，，故不是方程的根；
当时，方程恰好有三个不等的实数根即与的图象有个交点；
又，
当时，，故当时，单调递减，在时，单调递增；
当，时，；时，；且；
又当时，，故在单调递减，
当，时，；时，；
故在同一坐标系下，的图象如下所示：
数形结合可得，当，即时满足题意，故的取值范围为.
故选：D.
7．（2022·四川遂宁·