人教高中数学专题19 二次求导函数处理问题(解析版).docx

专题19 二次求导函数处理问题
构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题．
二次求导的原因是导函数无法用初等方程的求解，尤其是超越方程，使用二次求导可以化解很多一次求导函数零点“求之不得”的问题。
方法
二次求导
使用情景
对函数一次求导得到之后，解不等式难度较大甚至根本解不出.
解题步骤
设，再求，求出的解，即得到函数的单调性，得到函数的最值，即可得到的正负情况，即可得到函数的单调性.
一、单选题
1．设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若在区间上恒成立，则称函数在区间上为“凸函数”；已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【解析】因为，，
由题意在上恒成立，即在上恒成立，
分离参数，而在上的最大值为2，
所以实数的取值范围是.故选：D.
2．已知二次函数的图象过点，且当时，，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【解析】由知，∴，
∴，令，则，
，令，令，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
如图，若图象在图象上方，则，
要使图象在图象上方，则表示x轴截距的相反数，
的最小值即为截距的最大值，而当截距最大时，直线与相切，
记切点为，则，又，
所以，
有，设，
则，
故当时，函数，当时，，
故当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
此时，综上，的最小值为.故选：D.
3．设实数，那么的大小关系为（       ）
A． B． C． D．
【解析】，令，
令，，
在上是减函数，，在上是减函数，
又，，即，故选：C.
4．若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【解析】依题意，，
设函数，则，
令，故，
所以函数在上单调递减，而，
故当时，，当时，，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
故，则.故选：B．
5．若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【解析】由，得，又关于的不等式在上有解，
所以在上有解，即，
令，，则，
设，，则，
即在上单调递增，则，
于是有，从而得在上单调递增，
因此，，则，
所以的取值范围是.故选：D
6．已知函数，若函数与有相同的最小值，则的最大值为（       ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】根据题意，求导可得，，
∵（ ），∴在上单调递增，
又∵当时，，
∴当时，，即函数在上单调递减，
当时，，即函数在上单调递增，
故有，即得，
所以根据题意，若使，需使的值域中包含，
即得，故的最大值为2.故选：B.
7．在关于的不等式（其中为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数的取值范围为（     ）
A． B．
C． D．
【解析】由，化简得：，
设，，则原不等式即为.
若，则当时，，，
原不等式的解集中有无数个大于2的整数，∴.
∵，，∴.
当，即时，设，
则.
设，则在单调递减，所以
，所以在单调递减，∴，
∴当时，，∴在上为减函数，
即，
∴当时，不等式恒成立，原不等式的解集中没有大于2的整数.
要使原不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，
则，即，解得.则实数的取值范围为.故选：D
二、多选题
8．已知函数有两个极值点，，则（       ）
A． B． C． D．
【解析】由题意知，函数的定义域为，
，则的两根为，
由，得，设，则，
令，令，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故，作出函数与函数的图像，如图，
由图可知，解得，故A错误；
又，令，令，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
由，得，所以，
又，所以，
故函数在和上单调递减，在上单调递增，
有，故C错误；，故D正确；
设，
则，即函数关于点对称，
，令，
则，
当时，，，
所以在上，，函数单调递减，且，
则在上，即，函数单调递增，
又关于点对称，所以函数在单调递增，
所以，有，
又，所以，由，
得，又函数在单调递增，
所以，即，故B正确.
故选：BD
9．已知函数，则下列说法正确的有（       ）
A．f（x）无最大值 B．f（x）有唯一零点
C．f（x）在（0，＋∞）单调递增 D．f（0）为f（x）的一个极小值
【解析】，记
因为，且，在区间上显然递增，
所以记为的零点，