人教高中数学专题25 圆锥曲线压轴小题必刷100题(解析版).docx

专题25 圆锥曲线压轴小题必刷100题
一、单选题
1．已知圆是以点和点为直径的圆，点为圆上的动点，若点，点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题设可知圆：，在坐标系中找到，应用三角线相似将转化到，再利用三角形的三边关系确定目标式的最大值即可.
【详解】
由题设，知：且，即圆的半径为4，
∴圆：，
如上图，坐标系中则，
∴，即△△，故，
∴，在△中，
∴要使最大，共线且最大值为的长度.
∴.
故选：A
2．已知点，分别为椭圆的左、右焦点，点在直线上运动，若的最大值为，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设直线，的倾斜角分别为，，，且，利用差角正切公式、基本不等式求关于椭圆参数的表达式，结合已知求椭圆参数的数量关系，进而求离心率.
【详解】
由题意知，，，直线为，设直线，的倾斜角分别为，，
由椭圆的对称性，不妨设为第二象限的点，即，，则，.
，
，
当且仅当，即时取等号，又得最大值为，
，即，整理得，故椭圆的的离心率是.
故选：C.
3．过轴上点的直线与抛物线交于，两点，若为定值，则实数的值为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】
设出直线的方程与抛物线方程联立，根据两点间距离公式，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可
.
【详解】
设直线的方程为，
代入，得，
设，，则，．
，
同理，，
∴
，
∵为定值是与无关的常数，
∴，
故选：D．
4．已知椭圆：的两个顶点在直线上，，分别是椭圆的左､右焦点，点是椭圆上异于长轴两个端点的任一点，过点作椭圆的切线与直线交于点，设直线，的斜率分别为，，则的值为（ ）
A．- B． C．- D．-
【答案】A
【分析】
根据题意求出，，进而写出椭圆的方程，设点的切线方程为，与椭圆联立，由得到，然后依次表示出相关点的坐标，利用斜率公式表示出，进而化简整理即可求出结果.
【详解】
∵椭圆的两顶点在直线上，∴，，∴椭圆的方程为，∴，
，设点的切线方程为，，联立，消去得，∵直线与椭圆相切，∴，即，∴，，∴，∴点，又，∴，∴，设点，又在切线上，∴，∴，∴，
故选：A.
5．已知F是椭圆的左焦点，A是该椭圆的右顶点，过点F的直线l（不与x轴重合）与该椭圆相交于点M，N．记，设该椭圆的离心率为e，下列结论正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】A
【分析】
设在轴上方，在轴下方，设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，联立直线的方程与椭圆方程可求的坐标，同理可求的坐标，利用三点共线可得，利用离心率的范围可得，从而可判断为锐角.
【详解】
不失一般性，设在轴上方，在轴下方，
设直线的斜率为，倾斜角为，直线的斜率为，倾斜角为，
则，，，且.
又.
又直线的方程为，
由可得，
故，所以，故，
同理，故，
因为共线，故，
整理得到即，
若，，
因为，，故，所以，
故.
故选：A.
6．已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于点、，若、两点在准线上的射影分别为、，线段的中点为，则下列叙述不正确的是（ ）
A． B．四边形的面积等于
C． D．直线与抛物线相切
【答案】B
【分析】
对于选项AB，利用向量知识研究与､与的位置关系即可；对于选项C，可利用抛物线的定义确定、的长度，然后判断等号是否成立；对于选项D，求出直线的斜率，并设抛物线在点处的切线方程为，与抛物线的方程联立，由求出，进而可判断出D选项的正误.
【详解】
如图，由题意可得，抛物线的准线方程为．
设、，设直线的方程为，
联立，可得，利用根与系数的关系得，
因为线段的中点为，所以，
所以，，
所以，，
所以，，A选项正确；
对于B选项，因为，所以，
所以，所以，
所以四边形的面积等于，B选项错误；
对于C选项，根据抛物线的定义知，，
所以，
，
所以，，C选项正确；
对于D选项，直线的斜率为，
抛物线在点处的切线方程为，
联立，消去可得，
由题意可得，可得，即，则.
所以，直线与抛物线相切，D选项正确.
故选：B.
7．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
设双曲线的左、右焦点分别为，，设双曲线的一条渐近线方程为，可得直线的方程为，联立双曲线的方程可得点的坐标，设