人教高中数学专题31 圆锥曲线存在性问题的五种类型大题100题(解析版).docx

专题31 圆锥曲线存在性问题的五种类型大题100题
类型一:存在性问题---角度关系1-20题
1．已知双曲线的右焦点为，离心率为2，直线与C的一条渐近线交于点P，且．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）设Q为双曲线C右支上的一个动点在x轴上是否存在定点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在请说明理由．
【答案】
（1）
（2）满足条件的点M存在，坐标为
【分析】
（1）设直线与渐近线的交点为P，两方程联立方程组可求得，再由列方程可求出，再由离心率为2可求出，从而可求出双曲线方程，
（2）设为双曲线C右支上一点，则，当，可得，从而可求得，当时，则由，可得，然后分和求解即可
（1）根据双曲线的对称性不妨设直线与渐近线的交点为P，
则联立得：
由可得：，即，
由离心率可得：，故
所以双曲线的标准方程为：．
（2）假设存在点满足题设条件．
由（1）知双曲线C的右焦点为．
设为双曲线C右支上一点，则
①当时，．因为，
所以，于是，所以．即．
②当时，
因为，所以
（ⅰ）当时，上式化简得：
又即：，带入上式得：
所以解得．即
（ⅱ）当时，，即也能满足
综上可得：满足条件的点M存在，其坐标为．
2．已知双曲线：，，，，，五点中恰有三点在上.
（1）求的方程；
（2）设是上位于第一象限内的一动点，则是否存在定点，使得,若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】
（1）
（2）存在，定点
【分析】
（1）、根据五点的坐标及双曲线的对称性和顶点的特征确定都在上，得到方程组，求得，，即可得的方程；
（2）、根据条件及补角的定义得到，分轴与不与轴垂直两种情况分析求解.
（1）
若，，在双曲线上，则，，只能是双曲线的顶点，
，，三点中只能有一点是顶点，都在双曲线上，
，，两点关于上对称，
由双曲线顶点的位置特征分析可知，在上，
将，代入双曲线的方程中，
则，得，，故的方程为.
（2）
假设存在定点满足题意，，，，.
①、当轴时，,，，
在中，,
，，此时.
②、当不与轴垂直时，假设，满足.
设，则，，
，
又，，即，所以假设成立.
故存在定点，使得.
3．已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为，点P（0，1）和点A（m，n）（m≠0）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．
（1）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；
（2）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】
（1）；
（2）存在；或
【分析】
（1）根据椭圆的几何性质得出，即可求出椭圆方程，再求出的方程，即可得解．
（2）求解得出，，，，运用图形得出，，求解即可得出即，，根据，的关系整体求解．
（1）
解：由题意得出
解得：，，
，
和点，
的方程为：，时，
，
（2）
点与点关于轴对称，点，
点，
直线交轴于点，
，，
存在点，使得，，
，，
即，，
，，
故轴上存在点，使得，或
4．设点A、F分别是双曲线的左顶点和右焦点，点P是双曲线右支上的动点.
(1)若是直角三角形，求点P的坐标；
(2)是否存在常数，使得对任意的点P恒成立？证明你的结论．
【答案】(1) 或；(2)存在，证明见解析．
【分析】
(1)结合双曲线方程，分类讨论和两种情况，即可求解；
(2)首先讨论当当轴时，求出，然后讨论不垂直轴时的情况，根据双曲线对称性，令点在第一象限，分别表示出，，再结合点在双曲线上，即可求解.
【详解】
(1)设P点坐标为，由已知，，则，，
若，则，代入得，
∴P点坐标为．
若，则．
由得，，
∴P点坐标为．
综上，P点坐标为或.
(2)当轴时，由(1)知，．
以下证明：当不垂直于x轴时，也成立．
设P点坐标为，由对称性，假设P在第一象限，且不垂直于x轴，
∴，，，
结合正切二倍角公式联立以上三式可得，，
∴．
综上，存在，使得对任意的点P恒成立.
5．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，为坐标原点，点在椭圆上，且满足，.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知过点且不与轴重合的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在定点，使得. 若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，.
【分析】
（1）由题设条件可得，即，结合余弦定理以及，可得解；
（2）转化为，用点坐标表示斜率可得
，将直线和椭圆联立，结合韦达定理即得解.
【详解】
（1）由知