人教高中数学专题33 参变分离解决导数必刷100题(解析版).docx

专题33 参变分离解决导数必刷100题
一、单选题
1．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
依题意可得在上恒成立，构造函数，利用导数研究函数的单调性以及最值，即可求出参数的取值范围.
【详解】
解：因为，定义域为，
因为恒成立，即在上恒成立，
令，则，
令，则恒成立，即在定义域上单调递减，又，所以当时，当时，即当时，当时，
即在上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，即最大值，
，所以，即.
故选：A.
2．已知函数，若，使得在恒成立，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】
首先参变分离得，再设函数，求导数，再设，再求导数，通过函数恒正，判断函数的单调性，并判断的极值点所在的区间，求得函数的最小值，同时求得的最大值.
【详解】
依题意，，令，则．令，，∴时，，即单调递增，
∵，，设并记其零点为，故．且，所以当时，，即，单调递减；当时，即，单调递增，所以，因此，由于且，即，所以，
故选:C
3．已知函数为增函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
函数为增函数，可得，化为，令，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出.
【详解】
∵函数为增函数，
∴，化为，
令，则，
当时，，当时，，
可得时，函数取得极大值即最大值，，
∴.
∴a的取值范围是.
故选：A.
4．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意得出，构造函数，可知函数在区间上单调递增，可得出对任意的恒成立，利用参变量分离法可得出，利用导数求得函数在区间上的最小值，由此可求得实数的取值范围.
【详解】
函数的定义域为，当时，恒成立，
即，构造函数，则，
所以，函数在区间上为增函数，
则对任意的恒成立，，
令，其中，则.
，当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增.
所以，函数的最小值为，.
因此，实数的取值范围是.
故选：D.
5．若关于的方程在上有两个不等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
通过分离参数变成，构造函数，利用导数求其单调区间和值域，数形结合写出的取值范围.
【详解】
故
则
设，
故
在上为减函数，.
故时；时.
故在上为增函数，在上为减函数.
，
且时；时
与的图象要有两个交点
则的取值范围为.
故选：B
6．已知函数与函数的图像上恰有两对关于x轴对称的点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意将函数与的图像上恰有两对关于轴对称的点转化为有两解，令新的函数，求导，然后判断函数的单调性与极值，则可得的取值范围.
【详解】
因为函数与的图像上恰有两对关于轴对称的点，所以，即有两解，则有两解，令，则，所以当时，；当时，；所以函数在上单调递减，在上单调递增；所以在处取得极小值，所以，所以，的取值范围为.
故选：A.
7．已知函数函数存在零点，则实数的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
函数存在零点，即方程有解，当时，，求得函数的值域，即为实数的取值范围，当时，，求得函数的值域，即为实数的取值范围，最后取并集即为所求.
【详解】
解：令，即，
当时，，即，
因为，所以，
则；
当时，，即，
令，则，
所以在递增，在递减，
所以，，
当时，，且，
所以，即，
综上所述：.
故选：B.
8．已知在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意可知在上恒成立，即在上恒成立，参变分离，构造函数，求出的最小值即可.
【详解】
因为，所以，
因为在区间上单调递增，所以在上恒成立，
即在上恒成立，所以，令，则，当时，所以在上单调递增，又因为，且，所以，
故选：D.
9．已知函数在上有两个零点，则实数a的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】
由得，，令，作出其在上的简图，数形结合可得结果.
【详解】
由得，即，.
令，，则，
令，，则，
所以在上单调递增，又，
则当时，，即；当时，，即；
所以，
又，，且，
作出，的简图，
由图可知，要使的图象与的图象有两个不同的交点，则，
所以，当函数在上有两个零点时，实数的最大