人教专题2.7 函数的周期性与对称性-重难点题型精讲（举一反三）（新高考地区专用）（解析版）.docx

专题2.7 函数的周期性与对称性-重难点题型精讲
1．函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f (x＋T)＝f (x)，那么就称函数y＝f (x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x)的最小正周期．
2．函数图象的对称性
(1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数.
(2)图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数.
【题型1 函数的周期性及应用】
根据周期函数的定义判断函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，函数的周期性具有
将未知区间上的问题转化到已知区间的功能，在解决具体问题时要注意结论，若T是函数的周期，则kT（k
∈Z且k≠0）也是函数的周期.
【例1】（2021秋•宿州期末）已知函数f（x）＝cosπx，则下列正确的是（　　）
A．f（x）是周期为1的奇函数
B．f（x）是周期为2的偶函数
C．f（x）是周期为1的非奇非偶函数
D．f（x）是周期为2的非奇非偶函数
【解题思路】本题根据函数奇偶性的定义法进行判断即可，再根据余弦函数的周期性公式T=2πω进行计算即可得到正确选项．
【解答过程】解：由题意，可知
函数f（x）的定义域为R，定义域关于原点对称，
f（﹣x）＝cosπ（﹣x）＝cosπx＝f（x），
故函数f（x）是偶函数；
∵T=2πω=2ππ=2，
∴f（x）是周期为2的偶函数．
故选：B．
【变式1-1】（2022春•船山区校级期中）函数f(x)=sin2x−12是（　　）
A．周期为π的偶函数 B．周期为π的奇函数
C．周期为2π的偶函数 D．周期为2π的奇函数
【解题思路】由二倍角公式将函数化简，由余弦函数的性质即可求解周期及奇偶性．
【解答过程】解：因为函数f(x)=sin2x−12=1−cos2x2−12=−12cos2x，
所以T＝π，且f（x）为偶函数．
故选：A．
【变式1-2】（2022春•云岩区校级期中）下列函数中，周期为π的奇函数是（　　）
A．y＝sinx B．y＝sin2x C．y＝tan2x D．y＝cos2x
【解题思路】利用三角函数的奇偶性与周期性判断即可．
【解答过程】解：∵y＝sinx的周期T＝2π，y＝tan2x的周期T=π2，可排除A，C；
又∵cos（﹣x）＝cosx，∴y＝cosx为偶函数，可排除D；
y＝sin2x的周期T＝π，sin（﹣2x）＝﹣sin2x，∴y＝sin2x为奇函数，∴B正确；
故选：B．
【变式1-3】（2021秋•五华区校级月考）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（π2，π）上为减函数的是（　　）
A．y＝|sinx| B．y＝sin2x C．y＝2|cosx| D．y＝cosx2
【解题思路】分析每个选项中函数的周期性和单调性，利用排除法解题．
【解答过程】解：对于A，函数以π为最小正周期，且在区间（π2，π）上为减函数，符合题意；
对于B，以π为最小正周期，且在区间（π2，π）先减后增，不合题意；
对于C，函数在（π2，π）上单调递增，不合题意；
对于D，函数的周期是4π，不合题意；
故选：A．
【题型2 函数的对称性】
(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；
(2)利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象，确定函数在另一区间上的解析式，解决某些求值或参数问题；
(3)由函数奇偶性延伸可得到一些对称性结论，如函数f (x＋a)为偶函数(奇函数)，则y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称(关于点(a,0)对称)．
【例2】（2022•福州模拟）定义在R上的函数f（x）满足f（2﹣x）＝2﹣f（x），若f（x）的图象关于直线x＝3对称，则下列选项中一定成立的是（　　）
A．f（﹣3）＝1 B．f（0）＝0 C．f（3）＝2 D．f（5）＝﹣1
【解题思路】由f（2﹣x）＝2﹣f（x），可令x＝1，x＝﹣3，再由f（x）的图象关于直线x＝3对称，可得f（5）＝f（1），求得f（﹣3），可得结论．
【解答过程】解：定义在R上的函数f（x）满足f（2﹣x）＝2﹣f（x），若f（x）的图象关于直线x＝3对称，
可得f（1）＝2﹣f（1），即f（1）＝1，
又f（5）+f（﹣3）＝2，且f（5）