人教专题2.8 函数的周期性与对称性-重难点题型精练（举一反三）（新高考地区专用）（解析版）.docx

专题2.8 函数的周期性与对称性-重难点题型精练
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022春•北京期中）函数f(x)=tanx2是（　　）
A．周期为π的奇函数 B．周期为2π的奇函数
C．周期为π的偶函数 D．周期为2π的偶函数
【解题思路】由正切函数的周期公式和诱导公式，结合奇偶性的定义可得结论．
【解答过程】解：函数f(x)=tanx2的最小正周期为T=π12=2π，
定义域为{x|x≠2kπ+π，k∈Z}，关于原点对称，
f（﹣x）＝tan（−12x）＝﹣tanx2=−f（x），
则f（x）为奇函数．
故选：B．
2．（5分）（2022•合肥二模）函数f（x）＝ex+4﹣e﹣x（e是自然对数的底数）的图象关于（　　）
A．直线x＝﹣e对称 B．点（﹣e，0）对称
C．直线x＝﹣2对称 D．点（﹣2，0）对称
【解题思路】计算f（x﹣4），f（﹣x）可得f（x﹣4）+f（﹣x）＝0，可得f（x）的图象的对称性．
【解答过程】解：由f（x）＝ex+4﹣e﹣x，可得f（x﹣4）＝ex﹣e﹣x+4，
f（﹣x）＝e﹣x+4﹣ex，
所以f（x﹣4）+f（﹣x）＝0，
则f（x）的图象关于点（﹣2，0）对称．
故选：D．
3．（5分）（2022•道里区校级四模）已知f（x）是定义在R上的周期为4的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）＝e5x+a，若f(235)−f(22)=2e3，则f(195)=（　　）
A．e3+e B．﹣e3+e C．e3﹣e D．﹣e3﹣e
【解题思路】由周期性和奇偶性求得f（2）＝0，结合f(235)−f(22)=2e3，可求得a＝e3，进而得到所求答案．
【解答过程】解：∵f（x）是定义在R上的周期为4的奇函数，
∴f（﹣2）＝﹣f（2），又f（﹣2）＝f（2），即f（2）＝0，
又f(235)−f(22)=2e3，
∴f(4+35)−f(20+2)=f(35)−f(2)=2e3，即e3+a＝2e3，
∴a＝e3，
∴f(195)=f(195−4)=f(−15)=−f(15)=−(e+e3)，
故选：D．
4．（5分）（2021秋•安徽月考）已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x﹣1）关于（1，0）中心对称，f（x+1）是偶函数，且f(−32)=1．则下列选项中说法正确的有（　　）
A．f（x）为偶函数 B．f（x）周期为2
C．f(92)=1 D．f（x﹣2）是奇函数
【解题思路】由函数的对称性和奇偶性的定义，可判断A；由奇偶性和周期性的定义，求得f（x）的周期，可判断B；由周期性和奇偶性的定义，计算可判断C；由周期性和奇偶性的定义，可判断D．
【解答过程】解：由f（x﹣1）关于（1，0）中心对称，可得f（x﹣1）+f（2﹣x﹣1）＝0，
即为f（x﹣1）+f（1﹣x）＝0，即有f（﹣x）＝﹣f（x），即f（x）为奇函数，故A错误；
由f（x+1）是偶函数，可得f（﹣x+1）＝f（x+1），
即为f（﹣x）＝f（x+2），
所以f（x+2）＝﹣f（x），
则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
所以f（x）的周期为4，故B错误；
由f（92）＝f（92−4）＝f（12）＝f（32）＝﹣f（−32）＝﹣1，故C错误；
由f（x﹣2）＝f（x+2）＝﹣f（﹣x﹣2），可得f（x﹣2）为奇函数，故D正确．
故选：D．
5．（5分）（2022春•日照期末）已知y＝f（x+2）是定义域为R的奇函数，y＝g（x﹣1）是定义域为R的偶函数，且y＝f（x）与y＝g（x）的图像关于y轴对称，则（　　）
A．y＝f（x）是奇函数
B．y＝g（x）是偶函数
C．2是y＝f（x）一个周期
D．y＝g（x）关于直线x＝2对称
【解题思路】根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
【解答过程】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝f（x+2）是定义域为R的奇函数，则y＝f（x）关于点（2，0）中心对称，y＝g（x﹣1）是定义域为R的偶函数，则y＝g（x）关于x＝﹣1对称，
y＝f（x）与y＝g（x）的图像关于y轴对称，则y＝f（x）关于x＝1对称，
又由y＝f（x）关于点（2，0）中心对称，则y＝f（x）关于原点中心对称，故y＝f（x）是奇函数，故A正确．
对于B，y＝f（x）是奇函数，且y＝f（x）与y＝g（x）的图像关于y轴对称，故y＝g（x）也是奇函数，故B错误．
对于C，y＝f（x+2）是定义域为R的奇函数，则f（2+x）＝﹣f（2﹣x），
y＝f（x）关于x＝1对称，故f（﹣x+1）＝f（x+1），可得f（