人教专题3.6 对数与对数函数 2022年高考数学一轮复习讲练测（讲）解析版.docx

专题3.6 对数与对数函数
新课程考试要求
1. 理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式.
2．理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用.
3.了解对数函数的变化特征.
核心素养
培养学生数学抽象、数学运算（例1.2等）、逻辑推理（例7.8.9.10）、直观想象（例3.4.5）等核心数学素养.
考向预测
1.对数运算；
2.对数函数的图象和性质及其应用；
3.除单独考查外，在大题中考查对数运算、对数函数的图象和性质的应用是热点.常常与指数函数的性质结合考查对数函数图象和性质的应用，如比较函数值的大小、探究函数的图象等.
【知识清单】
1．对数及其运算
1.对数的概念
（1）如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
（2）对数的性质：①负数和零没对数；②；③；
（3）对数恒等式alogaN＝N
2.对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)；
④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0).
(3)对数的重要公式
①换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1)；
②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.
③logaab＝b(a>0，且a≠1)
2．对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1时，y>0；
当0<x<1时，y<0
当x>1时，y<0；
当0<x<1时，y>0
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
3.反函数
对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
【考点分类剖析】
考点一 ：对数的化简、求值
【典例1】（2021·江西高三其他模拟（文））若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由指数与对数关系可表示出，根据对数运算法则化简可求得结果.
【详解】
由得：，
.
故选：B.
【典例2】（2020·全国高考真题（理））已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）
A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b
【答案】A
【解析】
由题意可知、、，，；
由，得，由，得，，可得；
由，得，由，得，，可得.
综上所述，.
故选：A.
【规律方法】
1.对数性质在计算中的应用
(1)对数运算时的常用性质：logaa＝1，loga1＝0.
(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．
2.对数运算的一般思路
(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．
(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
【变式探究】
1．（2021·浙江高三其他模拟）已知实数，，满足，，，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【解析】
先利用指数式与对数式的互化关系表示出，，，进而得到，，，再根据换底公式和对数的运算法则即可得结果．
【详解】
∵，，，
∴，，，
∴，，，
∴ ．
故选：C
2.【多选题】（2021·辽宁高三月考）已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】
先判断，即可判断A； 利用判断B；利用B的结论判断C；利用C的结论判断D.
【详解】
因为，所以，即A不正确；
因为，所以，即B正确；
由可知，，C正确；
由可知，，则，即D正确．
故选：BCD.
【易错提醒】
(1)对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log212＝log2[(－3)×(－4)]＝log2(－3)＋log2(－4)的错误．
(2)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
考点