人教专题06 导数 6.3导数与函数的极值、最值 题型归纳讲义-2022届数学一轮复习（解析版）.docx

专题六 《导数》讲义
6.3导数与函数的极值、最值
知识梳理.极值与最值
1．函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
2．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
题型一. 极值、最值的概念
1．函数y＝xsinx+cosx的一个极小值点为（　　）
A．x=−π2 B．x=π2 C．x＝π D．x=3π2
【解答】解：y＝f（x）＝xsinx+cosx，
∴f′（x）＝sinx+xcosx﹣sinx＝xcosx，
令f′（x）＝0，解得x＝0或x=π2+kπ，k∈Z，
易得，函数在（0，12π）单调递增，（12π，π）单调递减，故x=12π为函数的极大值点，
函数在（−12π，0）单调递减，（﹣π，−12π）单调递减增故x=−12π为函数的极大值点，
函数在（12π，32π）单调递减，在（32π，2π）单调递增，x＝π不是极值点，x=32π为函数的极小值点．
故选：D．
2．（2017·全国2）若x＝﹣2是函数f（x）＝（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（　　）
A．﹣1 B．﹣2e﹣3 C．5e﹣3 D．1
【解答】解：函数f（x）＝（x2+ax﹣1）ex﹣1，
可得f′（x）＝（2x+a）ex﹣1+（x2+ax﹣1）ex﹣1，
x＝﹣2是函数f（x）＝（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点，
可得：f′（﹣2）＝（﹣4+a）e﹣3+（4﹣2a﹣1）e﹣3＝0，即﹣4+a+（3﹣2a）＝0．
解得a＝﹣1．
可得f′（x）＝（2x﹣1）ex﹣1+（x2﹣x﹣1）ex﹣1，
＝（x2+x﹣2）ex﹣1，函数的极值点为：x＝﹣2，x＝1，
当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＞0函数是增函数，x∈（﹣2，1）时，函数是减函数，
x＝1时，函数取得极小值：f（1）＝（12﹣1﹣1）e1﹣1＝﹣1．
故选：A．
3．（2013·全国2）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（　　）
A．∃x0∈R，f（x0）＝0
B．函数y＝f（x）的图象是中心对称图形
C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x ）在区间（﹣∞，x0）上单调递减
D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0 ）＝0
【解答】解：
A、对于三次函数f （x ）＝x3+ax2+bx+c，
A：由于当x→﹣∞时，y→﹣∞，当x→+∞时，y→+∞，
故∃x0∈R，f（x0）＝0，故A正确；
B、∵f（−2a3−x）+f（x）＝（−2a3−x）3+a（−2a3−x）2+b（−2a3−x）+c+x3+ax2+bx+c=4a327−2ab3+2c，
f（−a3）＝（−a3）3+a（−a3）2+b（−a3）+c=2a327−ab3+c，
∵f（−2a3−x）+f（x）＝2f（−a3），
∴点P（−a3，f（−a3））为对称中心，故B正确．
C、若取a＝﹣1，b＝﹣1，c＝0，则f（x）＝x3﹣x2﹣x，
对于f（x）＝x3﹣x2﹣x，∵f′（x）＝3x2﹣2x﹣1
∴由f′（x）＝3x2﹣2x﹣1＞0得x∈（﹣∞，−13）∪（1，+∞）
由f′（x）＝3x2﹣2x﹣1＜0得x∈（−13，1）
∴函数f（x）的单调增区间为：（﹣∞，−13），（1，+∞），减区间为：（−13，1），
故1是f（x）的极小值点，但f（x ）在区间（﹣∞，1）不是单调递减，故C错误；
D：若x0是f（x）的极值点，根据导数的意义，则f′（x0 ）＝0，故D正确．
由于该题选择错误的，故选：C．
4．已知函数f（x）＝x3+ax2﹣4x+5在x＝﹣2处取极值（a∈R）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在[﹣3，3]上的最大值．
【解答】解：（1）由f（x）＝x3+ax2﹣4x+5，得f'（x）