人教专题07 三角函数 7.1任意角的三角函数 题型归纳讲义-2022届数学一轮复习（解析版）.docx

专题七 《三角函数》讲义
7.1 任意角的三角函数
知识梳理.任意角的三角函数
1．角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式：
角α的弧度数公式
|α|＝(l表示弧长)
角度与弧度的换算
①1°＝rad；②1 rad＝°
弧长公式
l＝|α|r
扇形面积公式
S＝lr＝|α|r2
3.任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．
4.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．
(2)商数关系：＝tan_α(α≠＋kπ，k∈Z)．
5．三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α
(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin α
－sin_α
－sin_α
sin_α
cos_α
cos_α
余弦
cos_α
－cos_α
cos_α
－cos_α
sin_α
－sin_α
正切
tan α
tan_α
－tan_α
－tan_α
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
题型一. 同角之间的关系
1．已知角α的终边经过点P（1，m），且sinα=−31010，则cosα＝（　　）
A．±1010 B．−1010 C．1010 D．13
【解答】解：因为角a的终边经过点P（1，m），所以OP=1+m2
因为sinα=−31010，所以：m1+m2=−31010；
所以m＝﹣3．（正值舍）
故cosα=11+m2=1010；
故选：C．
2．已知a是第二象限角，tanα=−13，则cosα＝（　　）
A．31010 B．−31010 C．1010 D．−1010
【解答】解：∵α为第二象限角，tanα=−13，
∴cosα=−11+tan2α=−31010．
故选：B．
3．已知α∈(0，π2)，tanα=2cosα，则sinα＝（　　）
A．33 B．63 C．22 D．32
【解答】解：∵α∈(0，π2)，tanα=2cosα，
∴sinαcosα=2cosα，即cos2α=sinα2，
又∵sin2α+cos2α＝1，
∴sin2α+sinα2=1，即2sin2α+sinα−2=0，
解得sinα=22，负值舍去．
故选：C．
4．已知sinθ+cosθ=43（0＜θ＜π4），则sinθ﹣cosθ的值为　−23　．
【解答】解：∵sinθ+cosθ=43＞0，0＜θ＜π4