人教专题09 平面向量 9.3三角形四心及面积问题 题型归纳讲义-2022届数学一轮复习（解析版）.docx

题九 《平面向量》讲义
9.3 三角形四心及面积问题
题型一. 三角形四心
考点1.重心
1．已知△ABC和点M满足MA→+MB→+MC→=0→．若存在实数m使得AM→=m(AB→+AC→)成立，则m＝（　　）
A．1 B．12 C．13 D．14
【解答】解：因为AB→+AC→=AM→+MB→+AM→+MC→=2AM→+MB→+MC→，
又MA→+MB→+MC→=0→，所以MB→+MC→=−MA→=AM→，
则AB→+AC→=2AM→+AM→=3AM→，所以AM→=13(AB→+AC→)，
所以m=13，
故选：C．
2．已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP→=OA→+λ（AB→|AB→|sinB+AC→|AC→|sinC）λ∈[0，+∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（　　）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【解答】解：∵|AB→|sinB=|AC→|sinC设它们等于t，
∴OP→=OA→+λ⋅1t（AB→+AC→）
而AB→+AC→=2AD→
λ⋅1t（AB→+AC→）表示与AD→共线的向量AP→
而点D是BC的中点，所以即P的轨迹一定通过三角形的重心．
故选：C．
3．已知点P是△ABC所在平面内，且使得|PA→|2+|PB→|2+|PC→|2取得最小值的点，则点P是△ABC的（　　）
A．重心 B．外心 C．垂心 D．内心
【解答】解：根据题意，设OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→，OP→=p→，
则|PA→|2+|PB→|2+|PC→|2=(a→−p→)2+(b→−p→)2+(c→−p→)2=3p→2−2（a→+b→+c→）•p→+（a→2+b→2+c→2），
当p→=13（a→+b→+c→）时，上式取得最小值，此时P是△ABC的重心．
故选：A．
考点2.内心
1．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP→=OA→+λ(AB→|AB→|+AC→|AC→|)，λ∈[0，+∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的　内　心．
【解答】解：由于O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，
动点P满足OP→=OA→+λ(AB→|AB→|+AC→|AC→|)，λ∈[0，+∞)，
即P在∠BAC的平分线上，所以P的轨迹一定通过△ABC的内心．
故答案为：内
2．已知O是△ABC所在平面上的一点，A、B、C所对的边的分别为a，b，c，若aOA→+bOB→+cOC→=0→，则O是△ABC的（　　）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
【解答】解：∵OB→=AB→−AO→，OC→=AC→−AO→
∴aOA→+bOB→+cOC→=aOA→+b（AB→−AO→）+c（AC→−AO→）
＝bAB→+cAC→−（a+b+c）AO→
而 aOA→+bOB→+cOC→=0→，
∴（a+b+c）AO→=bAB→+cAC→
即 AO→=ba+b+cAB→+ca+b+cAC→
记AB→=cn1→，AC→=bn2→，其中n1→、n2→分别表示AB→、AC→方向上的单位向量
则 AO→=bca+b+c（n1→+n2→）
由该式可以看出AO位于∠BAC的角平分线上，故知O只能